63-68 - Encontre o valor exato de cada expressão.
\csc ^{-1} 2

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de \csc^{-1} 2.
Informações dadas: o argumento da função inversa é 2, ou seja, queremos o ângulo cujo cosseno recíproco vale 2.

Passo 2

Definição e tradução do problema para uma equação: se \theta=\csc^{-1}2, então por definição temos
\csc\theta=2.
Lembrete: \csc\theta é o recíproco de \sin\theta, isto é,
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.
Substituindo, a equação fica
\frac{1}{\sin\theta}=2.

Passo 3

Resolver a equação para \sin\theta: multiplicando ambos os lados por \sin\theta e dividindo por 2 obtemos
\sin\theta=\frac{1}{2}.
Então buscamos ângulos \theta tais que o seno valha \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Conhecimento de valores notáveis: sabemos que
\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Isso significa que \theta=\frac{\pi}{6} é uma solução da equação \sin\theta=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Discussão sobre a escolha da solução (ramo principal da função inversa): a função \csc^{-1}x é definida para |x|\ge 1 e seu valor principal costuma ser escolhido no intervalo
\left[-\frac{\pi}{2},0\right)\cup\left(0,\frac{\pi}{2}\right]
(ou seja, o mesmo ramo do \arcsin, excluindo 0). Entre as soluções gerais de \sin\theta=\tfrac{1}{2} — que são \theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi e \theta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi — apenas \theta=\frac{\pi}{6} pertence ao ramo principal indicado. Portanto a escolha correta para \csc^{-1}2 é \frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{6}

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