63 Considerando que não há resistência da água devido à viscosidade, uma esfera com volume de
é lançada do ponto " A " com velocidade de
. Depois de quanto tempo ele passa novamente pelo ponto de partida, no plano inclinado? A massa da esfera é 5 kg .
Passo 1
O enunciado pede: depois de quanto tempo a esfera passa novamente pelo ponto de partida
no plano inclinado, após ter sido lançada desse ponto com velocidade inicial.\n
Dados fornecidos (extraídos do enunciado e da figura):
- velocidade inicial no ponto
:
.\n
- volume da esfera:
.\n
- massa da esfera:
.\n
- ângulo do plano inclinado com a horizontal (retirado da figura):
.\n
Observações que vou usar (valores padrão): densidade da água e aceleração da gravidade
.
Dados fornecidos (extraídos do enunciado e da figura):
Observações que vou usar (valores padrão): densidade da água
Passo 2
Quais forças atuam na esfera (descrição didática):\n
- peso, que é a força vertical para baixo de módulo
. Aqui
é a massa da esfera e
é a aceleração da gravidade.\n
- força de empuxo (flutuabilidade), que é vertical para cima e de módulo igual ao peso do fluido deslocado, isto é
. Aqui
é a densidade da água e
o volume deslocado (no caso, o volume da esfera).\n
- reação normal da superfície do plano, que é perpendicular ao plano e não tem componente na direção do movimento ao longo do plano (por isso não entra na equação do movimento ao longo do plano).\n
Explicando a projeção: tanto o peso quanto o empuxo são verticais; para obter a força resultante que atua ao longo do plano inclinad o precisamos projetar essas forças na direção do plano. A componente do peso ao longo do plano é (tendendo a puxar a esfera para baixo do plano). A componente do empuxo na direção do plano é
(tendendo a empurrar a esfera para cima do plano, ou seja, na direção oposta).
Explicando a projeção: tanto o peso quanto o empuxo são verticais; para obter a força resultante que atua ao longo do plano inclinad o precisamos projetar essas forças na direção do plano. A componente do peso ao longo do plano é
Passo 3
Escrevendo a força resultante ao longo do plano (tomando como sentido positivo para baixo ao longo do plano):\n
Fatorando
:\n
A aceleração ao longo do plano é essa força dividida pela massa
, logo:\n
Comentário didático: se
a aceleração aponta para baixo no plano; se
(como neste caso) o empuxo vence o peso e a aceleração aponta para cima no plano (ou seja, oposta ao sentido inicial do lançamento).
Passo 4
Calculemos os termos numéricos passo a passo:\n
- massa aparente do fluido deslocado:
\n
- portanto
(isto mostra que o empuxo é maior que o peso)\n
-
\n
Substituindo em :\n
Substituindo em
Interpretação: a aceleração ao longo do plano tem módulo
e é dirigida para cima do plano (sinal negativo porque escolhemos para baixo como positivo). Na prática, a esfera lançada para baixo vai sofrer desaceleração até parar e depois subir.
Passo 5
Agora a cinemática uniforme ao longo do plano (explicação do método usado):\n
Com aceleração constante e velocidade inicial
(para baixo), a posição ao longo do plano em função do tempo é\n
Com aceleração constante
onde
é a posição inicial (ponto
). Queremos o tempo
em que a esfera retorna a
(além do instante inicial
). Substituindo
obtemos\n
A solução não nula é dada por\n
Comentário didático: o sinal de
é negativo, por isso o tempo fica positivo. Esse tempo corresponde ao intervalo total “ir + voltar” até passar de novo por
.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos: \n
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos
.\n
Pequeno comentário final: se alguém usar para simplificar nos cálculos, obteria
e
. Aqui usei
que é o valor mais preciso.
Pequeno comentário final: se alguém usar