63 Considerando que não há resistência da água devido à viscosidade, uma esfera com volume de 0,006 \mathrm{~m}^{3} é lançada do ponto " A " com velocidade de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Depois de quanto tempo ele passa novamente pelo ponto de partida, no plano inclinado? A massa da esfera é 5 kg .

Passo 1

O enunciado pede: depois de quanto tempo a esfera passa novamente pelo ponto de partida A no plano inclinado, após ter sido lançada desse ponto com velocidade inicial.\n
Dados fornecidos (extraídos do enunciado e da figura):
\; - velocidade inicial no ponto A: v_{0}=3\\ \mathrm{m/s}.\n
\; - volume da esfera: V=0{,}006\\ \mathrm{m^{3}}.\n
\; - massa da esfera: m=5\\ \mathrm{kg}.\n
\; - ângulo do plano inclinado com a horizontal (retirado da figura): \theta=30^\circ.\n
Observações que vou usar (valores padrão): densidade da água \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Quais forças atuam na esfera (descrição didática):\n
\; - peso, que é a força vertical para baixo de módulo mg. Aqui m é a massa da esfera e g é a aceleração da gravidade.\n
\; - força de empuxo (flutuabilidade), que é vertical para cima e de módulo igual ao peso do fluido deslocado, isto é F_{b}=\rho V g. Aqui \rho é a densidade da água e V o volume deslocado (no caso, o volume da esfera).\n
\; - reação normal da superfície do plano, que é perpendicular ao plano e não tem componente na direção do movimento ao longo do plano (por isso não entra na equação do movimento ao longo do plano).\n
Explicando a projeção: tanto o peso quanto o empuxo são verticais; para obter a força resultante que atua ao longo do plano inclinad o precisamos projetar essas forças na direção do plano. A componente do peso ao longo do plano é mg\sin\theta (tendendo a puxar a esfera para baixo do plano). A componente do empuxo na direção do plano é F_{b}\sin\theta (tendendo a empurrar a esfera para cima do plano, ou seja, na direção oposta).

Passo 3

Escrevendo a força resultante ao longo do plano (tomando como sentido positivo para baixo ao longo do plano):\n
F_{\text{res}} = (mg)\sin\theta - (F_{b})\sin\theta = (mg - \rho V g)\sin\theta.
Fatorando g:\n
F_{\text{res}} = g\,(m - \rho V)\sin\theta.
A aceleração ao longo do plano é essa força dividida pela massa m, logo:\n
a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = g\left(\frac{m - \rho V}{m}\right)\sin\theta.
Comentário didático: se m>\rho V a aceleração aponta para baixo no plano; se m<\rho V (como neste caso) o empuxo vence o peso e a aceleração aponta para cima no plano (ou seja, oposta ao sentido inicial do lançamento).

Passo 4

Calculemos os termos numéricos passo a passo:\n
\; - massa aparente do fluido deslocado: \rho V = 1000\cdot 0{,}006 = 6\\ \mathrm{kg}.\n
\; - portanto m - \rho V = 5 - 6 = -1\\ \mathrm{kg}. (isto mostra que o empuxo é maior que o peso)\n
\; - \sin\theta = \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}.\n
Substituindo em a:\n
a = 9{,}8\left(\frac{-1}{5}\right)\cdot\frac{1}{2} = 9{,}8\cdot(-0{,}2)\cdot 0{,}5 = -0{,}98\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: a aceleração ao longo do plano tem módulo 0{,}98\\ \mathrm{m/s^{2}} e é dirigida para cima do plano (sinal negativo porque escolhemos para baixo como positivo). Na prática, a esfera lançada para baixo vai sofrer desaceleração até parar e depois subir.

Passo 5

Agora a cinemática uniforme ao longo do plano (explicação do método usado):\n
Com aceleração constante a e velocidade inicial v_{0} (para baixo), a posição ao longo do plano em função do tempo é\n
s(t)=v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2},
onde s=0 é a posição inicial (ponto A). Queremos o tempo t>0 em que a esfera retorna a s=0 (além do instante inicial t=0). Substituindo s(t)=0 obtemos\n
0=v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}=t\left(v_{0}+\tfrac{1}{2}a t\right).
A solução não nula é dada por\n
v_{0}+\tfrac{1}{2}a t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=-\dfrac{2v_{0}}{a}.
Comentário didático: o sinal de a é negativo, por isso o tempo fica positivo. Esse tempo corresponde ao intervalo total “ir + voltar” até passar de novo por A.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos: \n
t=-\dfrac{2v_{0}}{a}=-\dfrac{2\cdot 3}{-0{,}98}=\dfrac{6}{0{,}98}\approx 6{,}12245\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos t\approx 6{,}12\\ \mathrm{s}.\n
Pequeno comentário final: se alguém usar g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} para simplificar nos cálculos, obteria a=-1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} e t=6{,}00\\ \mathrm{s}. Aqui usei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} que é o valor mais preciso.

Resposta

6{,}12\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados