A legislação brasileira proíbe buzinar dentro de túneis e nas proximidades de escolas e hospitais. Certo dia de engarrafamento dentro de um túnel, um motorista aciona a buzina de forma ininterrupta de seu carro e um policial, que estava a 200 m , capta o nível de intensidade sonora de 78 dB . Após certo instante outros dois motoristas (à mesma distância) acionam a buzina de seu carro, de mesma intensidade sonora.
(a) Qual o nível de intensidade sonora captado pelo policial?
(b) Qual a potência sonora da buzina?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede duas coisas. Vou listar tudo claramente para não nos perdermos.\n
  • Um policial está a \;r=200\\ \mathrm{m}\; de um carro cuja buzina é acionada de forma ininterrupta. O nível de intensidade sonora medido por ele, com apenas essa buzina soando, é \;\beta_1=78\\ \mathrm{dB}.\n
  • Depois, outros dois carros (às mesmas \;r=200\\ \mathrm{m}\; do policial) ligam buzinas idênticas à primeira (mesma potência acústica). Assim, passam a ser 3 buzinas iguais soando simultaneamente.\n
    Perguntas do enunciado:\n
    (a) Qual o nível de intensidade sonora \beta_{\text{total}} captado pelo policial quando as três buzinas soam?\n
    (b) Qual a potência sonora (potência acústica) P de cada buzina?\n

Passo 2

Vou ensinar a teoria essencial que precisamos.\n
  • Nível de intensidade sonora (em decibéis) é dado por
\beta = 10\log_{10}\!\bigg(\dfrac{I}{I_0}\bigg)
onde \beta é o nível em decibéis, I é a intensidade sonora em \mathrm{W/m^2} e I_0 é a intensidade de referência, convencionalmente \;I_0=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}.\n
  • Se conhecemos \beta, podemos obter I invertendo a fórmula:
I = I_0 \,10^{\beta/10}.
Aqui explico as variáveis: \beta é dado em dB; I é a energia por unidade de área por segundo que atravessa uma superfície; I_0 é a constante de referência.\n
  • Quando várias fontes acústicas incoerentes (não em fase) estão presentes, as intensidades somam (não os níveis em dB). Então, se tivermos n fontes idênticas de intensidade I_1, a intensidade total é \;I_{\text{tot}} = n I_1.\n
  • A diferença de nível entre a soma de n fontes idênticas e uma fonte é
\beta_{\text{tot}} = \beta_1 + 10\log_{10} n,
porque
\beta_{\text{tot}} = 10\log_{10}\!\bigg(\dfrac{n I_1}{I_0}\bigg) = 10\log_{10} n + 10\log_{10}\!\bigg(\dfrac{I_1}{I_0}\bigg) = 10\log_{10} n + \beta_1.
  • Para relacionar intensidade I e potência acústica P de uma fonte pontual isotrópica (modelo habitual de exercício), usamos a lei do inverso do quadrado:
I = \dfrac{P}{4\pi r^2},
onde r é a distância da fonte ao ponto de medição e 4\pi r^2 é a área da superfície esférica de raio r. Aqui P é a potência acústica total radiada pela buzina (em watts).

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso caso: primeiro vamos achar a intensidade I_1 produzida por uma buzina a \;r=200\\ \mathrm{m}\; quando o policial mediu \beta_1=78\\ \mathrm{dB}.\n
Usamos
I_1 = I_0\,10^{\beta_1/10}.
Substituindo I_0=10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2} e \beta_1=78\\ \mathrm{dB},
I_1 = 10^{-12}\times 10^{78/10} = 10^{-12}\times 10^{7,8} = 10^{-4,2}\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora transformamos 10^{-4,2} em número mais conveniente:
10^{-4,2} \approx 6,3096\times 10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 4

Agora calculamos o novo nível quando três buzinas idênticas soam simultaneamente. Como as intensidades somam,
I_{\text{tot}} = 3 I_1.
O nível total será
\beta_{\text{tot}} = 10\log_{10}\!\bigg(\dfrac{I_{\text{tot}}}{I_0}\bigg) = 10\log_{10}\!\bigg(\dfrac{3 I_1}{I_0}\bigg) = 10\log_{10} 3 + 10\log_{10}\!\bigg(\dfrac{I_1}{I_0}\bigg).
Mas 10\log_{10}\!\big(\dfrac{I_1}{I_0}\big)=\beta_1. Portanto
\beta_{\text{tot}} = \beta_1 + 10\log_{10}3.

Passo 5

Calculemos numericamente 10\log_{10}3. Sabemos \log_{10}3\approx 0,4771. Logo
10\log_{10}3 \approx 10\times 0,4771 = 4,771\\ \mathrm{dB}.
Portanto o novo nível é
\beta_{\text{tot}} = 78\\ \mathrm{dB} + 4,771\\ \mathrm{dB} \approx 82,771\\ \mathrm{dB}.
Arredondando de forma prática para a prova, \beta_{\text{tot}}\approx 82,8\\ \mathrm{dB}.

Passo 6

Agora vamos achar a potência acústica P de cada buzina. Usamos a relação entre intensidade e potência para uma fonte aproximadamente isotrópica:
I_1 = \dfrac{P}{4\pi r^2}.
Isolando P,
P = I_1\,4\pi r^2.

Passo 7

Substituímos os números: I_1 \approx 6,3096\times 10^{-5}\\ \mathrm{W/m^2} (obtido no Passo 3) e r=200\\ \mathrm{m}, então r^2 = 200^2 = 40000\\ \mathrm{m^2}.\n
Calculemos 4\pi r^2:
4\pi r^2 = 4\pi \times 40000 = 160000\pi \approx 160000\times 3,1416 \approx 502654,8\\ \mathrm{m^2}.
Agora a potência:
P = (6,3096\times 10^{-5}) \times 160000\pi \\ \mathrm{W}.

Passo 8

Fazendo a conta numérica (mostrando passo a passo): primeiro 6,3096\times 10^{-5}\times 160000 \approx 10,0953. Multiplicando por \pi,
P \approx 10,0953\times \pi \approx 31,71\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática, a potência de cada buzina é \;P\approx 31,7\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Resumo rápido e incentivo: com calma, basta lembrar da definição de decibel, converter nível para intensidade, somar intensidades para fontes independentes e usar a lei do inverso do quadrado para voltar à potência. Você já está com tudo para aplicar isso na prova — respira fundo e confia no passo a passo que fizemos juntos!

Resposta

(a) \beta_{\text{total}}\approx 82,8\\ \mathrm{dB}\n
(b) P\approx 31,7\\ \mathrm{W}

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