63 Duas cargas pontuais de 30 nC e -40 nC são mantidas fixas no eixo x, na origem e no ponto x=72 cm , respectivamente. Uma partícula com uma carga de 42 \mu \mathrm{C} é liberada a partir do repouso no ponto x= 28 cm . Se a aceleração inicial da partícula é 100 \mathrm{~km} / \mathrm{s}^{2}, qual é a massa da partícula?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar todas elas com as unidades convertidas quando necessário):
  • Carga fixa em x=0: q_1=30\\ \text{nC}=30\times10^{-9}\\ \text{C}.
  • Carga fixa em x=72\\ \text{cm}: q_2=-40\\ \text{nC}=-40\times10^{-9}\\ \text{C}.
  • Partícula liberada em x=28\\ \text{cm} com carga q=42\\ \mu\text{C}=42\times10^{-6}\\ \text{C}.
  • Aceleração inicial da partícula: a=100\\ \text{km/s}^2.
  • O que se pede: a massa m da partícula, usando que a aceleração inicial é 100\\ \text{km/s}^2.

Passo 2

Fórmula que vamos usar: a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada pela lei de Coulomb,
F = k\frac{|q\,q'|}{r^2},
onde:
  • k é a constante eletrostática, k=8{,}99\times10^{9}\\ \text{N}\,\text{m}^2\!/\text{C}^2;
  • q e q' são as cargas (em coulombs);
  • r é a distância entre as cargas (em metros);
  • F é a magnitude da força elétrica (em newtons).
A direção da força depende dos sinais: cargas de mesmo sinal se repelem; sinais opostos se atraem. A resultante elétrica sobre a partícula é a soma vetorial das forças de q_1 e q_2. Finalmente, pela segunda lei de Newton,
\vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a},
logo a massa será m = F_{\text{net}}/a (tomando magnitudes se massa e aceleração forem na mesma direção).

Passo 3

Calcular as distâncias da partícula até as cargas e converter a para \text{m/s}^2:
  • Posição da partícula: x=28\\ \text{cm}=0{,}28\\ \text{m}.
  • Posição de q_1: x_1=0\\ \text{m}. Distância r_1 = 0{,}28-0 = 0{,}28\\ \text{m}.
  • Posição de q_2: x_2=72\\ \text{cm}=0{,}72\\ \text{m}. Distância r_2 = 0{,}72-0{,}28 = 0{,}44\\ \text{m}.
  • Aceleração dada: a=100\\ \text{km/s}^2 = 100\times10^{3}\\ \text{m/s}^2 = 100000\\ \text{m/s}^2.

Passo 4

Calcular as magnitudes das forças de Coulomb exercidas sobre a partícula por cada carga.
Força de q_1 (repulsiva, pois q_1>0 e q>0):
F_1 = k\frac{q\,q_1}{r_1^2} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{(42\times10^{-6})(30\times10^{-9})}{(0{,}28)^2}.
Faço passo a passo os fatores:
(42\times10^{-6})(30\times10^{-9})=1260\times10^{-15}=1{,}26\times10^{-12}.
Então
F_1 = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{1{,}26\times10^{-12}}{0{,}28^2} = \frac{8{,}99\times10^{9}\times1{,}26\times10^{-12}}{0{,}0784}.
Calculo numérico:
8{,}99\times10^{9}\times1{,}26\times10^{-12}=1{,}13374\times10^{-2}\\ \text{N}
F_1=\frac{0{,}0113374}{0{,}0784}\approx0{,}1446\\ \text{N}.
Força de q_2 (atrativa, pois q_2<0 e q>0; atração para a direita):
F_2 = k\frac{q\,|q_2|}{r_2^2} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\frac{(42\times10^{-6})(40\times10^{-9})}{(0{,}44)^2}.
Produtos:
(42\times10^{-6})(40\times10^{-9})=1680\times10^{-15}=1{,}68\times10^{-12}.
Então
8{,}99\times10^{9}\times1{,}68\times10^{-12}=1{,}51032\times10^{-2}\\ \text{N}
e
F_2=\frac{0{,}0151032}{0{,}1936}\approx0{,}07805\\ \text{N}.

Passo 5

Determinar a direção das forças e a resultante:
  • A força de q_1 sobre q é para a direita (repulsão).
  • A força de q_2 sobre q é também para a direita (atração em direção a x=0{,}72\\ \text{m}).
Como ambas têm mesma direção (para a direita), a magnitude da força resultante é
F_{\text{net}} = F_1 + F_2 \approx 0{,}1446 + 0{,}07805 = 0{,}22265\\ \text{N}.

Passo 6

Usar F_{\text{net}}=m a para achar m:
m=\frac{F_{\text{net}}}{a}=\frac{0{,}22265\\ \text{N}}{100000\\ \text{m/s}^2}=2{,}2265\times10^{-6}\\ \text{kg}.
Arredondando com três algarismos significativos,
m\approx2{,}23\times10^{-6}\\ \text{kg}.
Em unidades mais familiares, 2{,}23\times10^{-6}\\ \text{kg}=2{,}23\\ \text{mg} (miligramas).

Resposta

m\approx2{,}23\times10^{-6}\\ \text{kg}

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