52 Uma partícula de carga
é mantida fixa na origem de um sistema de coordenadas
. No instante
, uma partícula (
) está situada no eixo
, no ponto
, e se move com uma velocidade de
no sentido positivo do eixo
. Para qual valor de
a partícula executa um movimento circular uniforme? (Despreze o efeito da força gravitacional sobre a partícula.)
Passo 1
O enunciado pede: “Para qual valor de
a partícula executa um movimento circular uniforme?”
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- massa da partícula:
. - carga da partícula:
. - posição inicial: sobre o eixo
em . - velocidade inicial:
no sentido positivo do eixo . - despreza-se a gravidade.
Observações numéricas (conversões que usarei):
Passo 2
Conceitos e condições necessárias (explicação didática).
- Para que a partícula descreva um movimento circular uniforme em torno da origem, a força elétrica que atua sobre ela deve ser sempre dirigida para o centro da trajetória (força centrípeta) e ter módulo igual à força centrípeta exigida pela velocidade.
- A força elétrica entre a carga fixa
na origem e a carga móvel é dada pela Lei de Coulomb (em módulo):
onde
,
é a distância entre cargas, e
é o produto dos módulos das cargas. Aqui
aponta do ponto onde está a carga
na direção radial (para dentro se as cargas se atraem, para fora se se repelem).
- A força centrípeta necessária para manter uma partícula de massa
em movimento circular de raio com velocidade tem módulo
- Condição para movimento circular uniforme: a força elétrica deve prover exatamente a força centrípeta em módulo, isto é
. Além disso, a direção da força elétrica deve ser radial para dentro. Como aqui é positiva ( ), para que a força seja dirigida para o centro (origem) a carga fixa deve ter sinal oposto (isto é, ), porque cargas de sinais opostos se atraem. Vou usar isto para determinar o sinal de .
Passo 3
Equacione as magnitudes e isole
. Igualando os módulos:
Como
, multiplicando ambos os lados por
e isolando
obtém-se
Aqui
é o módulo da carga
. Pelo raciocínio de direção do passo anterior, o sinal de
é negativo, logo
.
Passo 4
Substituição numérica passo a passo (com conversões já feitas no Passo 1). Primeiro calcule
e depois
e
:
Agora o denominador
:
Dividindo para obter o módulo de
:
Como argumentado no Passo 2 (necessidade de atração), o sinal é negativo:
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados),
Passo 5
Resumo físico e verificação rápida (checagem mental).
- O valor negativo de
faz sentido: com e há atração; a força resultante aponta radialmente para a origem e pode agir como a força centrípeta que mantém a partícula em órbita circular. - A ordem de grandeza (cerca de
, ou dez microcoulombs) é razoável para uma força elétrica capaz de fornecer a centripeta neste caso (massa pequena e velocidade relativamente alta).