52 Uma partícula de carga Q é mantida fixa na origem de um sistema de coordenadas x y. No instante t =0, uma partícula ( m=0,800 \mathrm{~g}, q=+4,00 \mu \mathrm{C} ) está situada no eixo x, no ponto x=20,0 \mathrm{~cm}, e se move com uma velocidade de 50,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo do eixo y. Para qual valor de Q a partícula executa um movimento circular uniforme? (Despreze o efeito da força gravitacional sobre a partícula.)

Passo 1

O enunciado pede: “Para qual valor de Q a partícula executa um movimento circular uniforme?”
Dados fornecidos:
  • massa da partícula: m=0,800\\ \text{g}.
  • carga da partícula: q=+4{,}00\\ \mu\text{C}.
  • posição inicial: sobre o eixo x em x=20{,}0\\ \text{cm}.
  • velocidade inicial: v=50{,}0\\ \text{m/s} no sentido positivo do eixo y.
  • despreza-se a gravidade.
    Observações numéricas (conversões que usarei):
m=0{,}800\\ \text{g}=0{,}000800\\ \text{kg},\qquad q=4{,}00\\ \mu\text{C}=4{,}00\times10^{-6}\\ \text{C},
r=20{,}0\\ \text{cm}=0{,}200\\ \text{m},\qquad v=50{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 2

Conceitos e condições necessárias (explicação didática).
  • Para que a partícula descreva um movimento circular uniforme em torno da origem, a força elétrica que atua sobre ela deve ser sempre dirigida para o centro da trajetória (força centrípeta) e ter módulo igual à força centrípeta exigida pela velocidade.
  • A força elétrica entre a carga fixa Q na origem e a carga móvel q é dada pela Lei de Coulomb (em módulo):
F_{\text{el}} = k\frac{|Q\,q|}{r^{2}},
onde k=8{,}988\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}\!/\text{C}^{2}, r é a distância entre cargas, e |Q\,q| é o produto dos módulos das cargas. Aqui F_{\text{el}} aponta do ponto onde está a carga q na direção radial (para dentro se as cargas se atraem, para fora se se repelem).
  • A força centrípeta necessária para manter uma partícula de massa m em movimento circular de raio r com velocidade v tem módulo
F_{\text{c}} = m\frac{v^{2}}{r}.
  • Condição para movimento circular uniforme: a força elétrica deve prover exatamente a força centrípeta em módulo, isto é F_{\text{el}}=F_{\text{c}}. Além disso, a direção da força elétrica deve ser radial para dentro. Como aqui q é positiva ( +4{,}00\\ \mu\text{C}), para que a força seja dirigida para o centro (origem) a carga fixa Q deve ter sinal oposto (isto é, Q<0), porque cargas de sinais opostos se atraem. Vou usar isto para determinar o sinal de Q.

Passo 3

Equacione as magnitudes e isole Q. Igualando os módulos:
k\frac{|Q\,q|}{r^{2}} = m\frac{v^{2}}{r}.
Como r>0, multiplicando ambos os lados por r^{2} e isolando |Q| obtém-se
|Q| = \frac{m v^{2} r}{k q}.
Aqui |Q| é o módulo da carga Q. Pelo raciocínio de direção do passo anterior, o sinal de Q é negativo, logo Q=-|Q|.

Passo 4

Substituição numérica passo a passo (com conversões já feitas no Passo 1). Primeiro calcule v^{2} e depois m v^{2} e m v^{2} r:
v^{2} = (50{,}0)^{2}=2500\\ (\text{m}^{2}/\text{s}^{2}).
m v^{2} = 0{,}000800\times2500 = 2{,}000\\ (\text{SI}).
m v^{2} r = 2{,}000\times0{,}200 = 0{,}400.
Agora o denominador k q:
k q = \bigl(8{,}988\times10^{9}\bigr)\times\bigl(4{,}00\times10^{-6}\bigr) =3{,}5952\times10^{4}.
Dividindo para obter o módulo de Q:
|Q| = \frac{0{,}400}{3{,}5952\times10^{4}} \approx 1{,}113\times10^{-5}\\ \text{C}.
Como argumentado no Passo 2 (necessidade de atração), o sinal é negativo:
Q = -1{,}113\times10^{-5}\\ \text{C}.
Arredondando para três algarismos significativos (compatível com os dados),
Q \approx -1{,}11\times10^{-5}\\ \text{C} = -11{,}1\\ \mu\text{C}.

Passo 5

Resumo físico e verificação rápida (checagem mental).
  • O valor negativo de Q faz sentido: com q>0 e Q<0 há atração; a força resultante aponta radialmente para a origem e pode agir como a força centrípeta que mantém a partícula em órbita circular.
  • A ordem de grandeza (cerca de 10^{-5}\\ \text{C}, ou dez microcoulombs) é razoável para uma força elétrica capaz de fornecer a centripeta neste caso (massa pequena e velocidade relativamente alta).

Resposta

Q = -1{,}11\times10^{-5}\\ \text{C} = -11{,}1\\ \mu\text{C}

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