51 Uma barra isolante eletricamente carregada, com um comprimento de 2,00 \mathrm{~m} e uma seção reta de 4,00 \mathrm{~cm}^{2}, está no semieixo x positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga \rho, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra (a) se \rho é uniforme, com um valor de -4,00 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}; (b) se o valor de \rho é dado pela equação \rho=b x^{2}, em que b=-2,00 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{5}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantos elétrons em excesso existem numa barra isolante carregada, em dois casos diferentes de densidade volumétrica de carga. Informações dadas:
  • comprimento da barra: L=2{,}00\\ \mathrm{m}.
  • seção reta da barra: A=4{,}00\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • a barra está no semieixo positivo x com uma extremidade em x=0 e a outra em x=L.
  • Unidade de densidade volumétrica de carga: coulomb por metro cúbico.
    Perguntas:
    (a) Calcular o número de elétrons em excesso quando \rho é uniforme e vale \rho=-4{,}00\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
    (b) Calcular o número de elétrons em excesso quando \rho=b x^{2} com b=-2{,}00\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{5}.

Passo 2

Converter unidades e lembrar fórmulas básicas (sem pular etapas).
  • Converter a área de \mathrm{cm}^{2} para \mathrm{m}^{2}:
A=4{,}00\\ \mathrm{cm}^{2}=4{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
(Explicação: 1\\ \mathrm{cm}^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}, logo multiplicar por 10^{-4}.)
  • Volume da barra (produto da área pela altura/comprimento):
V=A\cdot L.
  • Relação entre densidade volumétrica de carga e carga total: a carga total é a integral da densidade sobre o volume. Se \rho for uniforme,
Q=\rho V.
Se \rho depender de x e a seção for constante,
Q=\int_{V}\rho\,dV = \int_{0}^{L}\rho(x)\,A\,dx = A\int_{0}^{L}\rho(x)\,dx.
(Explicação: dividir o sólido em fatias de espessura dx; cada fatia tem volume A\,dx e carga \rho(x)A\,dx; somar por integração.)
  • Número de elétrons em excesso: cada elétron tem carga elementar negativa e=-1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. O número de elétrons em excesso (um número positivo) é o módulo da carga total dividido pela carga elemental:
N=\frac{|Q|}{e},
onde aqui usaremos e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (módulo da carga do elétron).
(Explicação: se a carga total for negativa, isso indica excesso de elétrons; dividir a magnitude da carga pelo valor absoluto da carga de um elétron dá quantos elétrons há a mais.)

Passo 3

Calcular valores numéricos intermediários que serão usados nos dois itens.
  • Calcular A em \mathrm{m}^{2} novamente (já feito):
A=4{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Calcular o volume V:
V=A\cdot L = (4{,}00\times10^{-4})\cdot(2{,}00)=8{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}.
(Detalhe da conta: 4{,}00\times2{,}00=8{,}00 e os expoentes somam 10^{-4}\cdot10^{0}=10^{-4}.)

Passo 4

Resolver o item (a): \rho uniforme com \rho=-4{,}00\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
  • Converter \rho para coulomb por metro cúbico:
\rho=-4{,}00\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3} = -4{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
(Explicação: 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.)
  • Cálculo da carga total:
Q=\rho V = (-4{,}00\times10^{-6})\cdot(8{,}00\times10^{-4}) = -32{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Agora escrever em notação usual:
Q=-3{,}20\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
(Detalhe: multiplicação 4{,}00\times8{,}00=32{,}0; expoentes 10^{-6}\cdot10^{-4}=10^{-10}.)
  • Número de elétrons em excesso:
N=\frac{|Q|}{e}=\frac{3{,}20\times10^{-9}}{1{,}602176634\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão (mostrando passo a passo):
\frac{3{,}20}{1{,}602176634}\approx1{,}9989\quad\text{e o fator de potências é }10^{10},êé
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N\approx1{,}9989\times10^{10}.
Arredondando de acordo com os algarismos dados (3 algarismos significativos nos dados), obtemos
N\approx2{,}00\times10^{10}\\ \text{elétrons}.é
(Explicação: razoável apresentar o resultado com 3 algarismos significativos.)

Passo 5

Resolver o item (b): \rho(x)=b x^{2} com b=-2{,}00\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{5}.
  • Converter b para SI:
b=-2{,}00\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^{5} = -2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{5}.
  • Expressar a carga total por integração:
Q=A\int_{0}^{L} \rho(x)\,dx = A\int_{0}^{L} b x^{2}\,dx = Ab\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L} = Ab\frac{L^{3}}{3}.
(Explicação: integral de x^{2} é x^{3}/3.)
  • Calcular L^{3}:
L^{3}=(2{,}00)^{3}=8{,}00\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Calcular Ab:
Ab = (4{,}00\times10^{-4})\cdot(-2{,}00\times10^{-6}) = -8{,}00\times10^{-10}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.
  • Agora a carga total:
Q = Ab\frac{L^{3}}{3} = (-8{,}00\times10^{-10})\cdot\frac{8{,}00}{3} = -\frac{64{,}0\times10^{-10}}{3}\\ \mathrm{C}.
Escrevendo em notação decimal:
Q=-2{,}133333\ldots\times10^{-9}\\ \mathrm{C}\approx -2{,}13\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
(Detalhe: -8{,}00\times8{,}00=-64{,}0; dividir por 3 dá -21{,}333\ldots\times10^{-10}=-2{,}13333\ldots\times10^{-9}.)
  • Número de elétrons em excesso:
N=\frac{|Q|}{e}=\frac{2{,}133333\ldots\times10^{-9}}{1{,}602176634\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
\frac{2{,}133333\ldots}{1{,}602176634}\approx1{,}3319\quad\text{e o fator de potências é }10^{10},êé
logo
N\approx1{,}3319\times10^{10}.
Arredondando a 3 algarismos significativos:
N\approx1{,}33\times10^{10}\\ \text{elétrons}.é

Resposta

(a) 2{,}00\times10^{10} elétrons
(b) 1{,}33\times10^{10} elétrons

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