51 Uma barra isolante eletricamente carregada, com um comprimento de
e uma seção reta de
, está no semieixo
positivo com uma das extremidades na origem. A densidade volumétrica de carga
, cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico, é a carga por unidade de volume. Determine quantos elétrons em excesso existem na barra (a) se
é uniforme, com um valor de
; (b) se o valor de
é dado pela equação
, em que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar quantos elétrons em excesso existem numa barra isolante carregada, em dois casos diferentes de densidade volumétrica de carga. Informações dadas:
- comprimento da barra:
. - seção reta da barra:
. - a barra está no semieixo positivo
com uma extremidade em e a outra em . - Unidade de densidade volumétrica de carga: coulomb por metro cúbico.
Perguntas:
(a) Calcular o número de elétrons em excesso quandoé uniforme e vale .
(b) Calcular o número de elétrons em excesso quandocom .
Passo 2
Converter unidades e lembrar fórmulas básicas (sem pular etapas).
- Converter a área de
para :
(Explicação:
, logo multiplicar por
.)
- Volume da barra (produto da área pela altura/comprimento):
- Relação entre densidade volumétrica de carga e carga total: a carga total é a integral da densidade sobre o volume. Se
for uniforme,
Se
depender de
e a seção for constante,
(Explicação: dividir o sólido em fatias de espessura
; cada fatia tem volume
e carga
; somar por integração.)
- Número de elétrons em excesso: cada elétron tem carga elementar negativa
. O número de elétrons em excesso (um número positivo) é o módulo da carga total dividido pela carga elemental:
onde aqui usaremos
(módulo da carga do elétron).
(Explicação: se a carga total for negativa, isso indica excesso de elétrons; dividir a magnitude da carga pelo valor absoluto da carga de um elétron dá quantos elétrons há a mais.)
(Explicação: se a carga total for negativa, isso indica excesso de elétrons; dividir a magnitude da carga pelo valor absoluto da carga de um elétron dá quantos elétrons há a mais.)
Passo 3
Calcular valores numéricos intermediários que serão usados nos dois itens.
- Calcular
em novamente (já feito):
- Calcular o volume
:
(Detalhe da conta:
e os expoentes somam
.)
Passo 4
Resolver o item (a):
uniforme com
.
- Converter
para coulomb por metro cúbico:
(Explicação:
.)
- Cálculo da carga total:
Agora escrever em notação usual:
(Detalhe: multiplicação
; expoentes
.)
- Número de elétrons em excesso:
Fazendo a divisão (mostrando passo a passo):
logo
Arredondando de acordo com os algarismos dados (3 algarismos significativos nos dados), obtemos
(Explicação: razoável apresentar o resultado com 3 algarismos significativos.)
Passo 5
Resolver o item (b):
com
.
- Converter
para SI:
- Expressar a carga total por integração:
(Explicação: integral de
é
.)
- Calcular
:
- Calcular
:
- Agora a carga total:
Escrevendo em notação decimal:
(Detalhe:
; dividir por 3 dá
.)
- Número de elétrons em excesso:
Fazendo a divisão:
logo
Arredondando a 3 algarismos significativos:
Resposta
(a)
elétrons
(b) elétrons
(b)