4.62 Suponham-se A, B e C eventos independentes. Mostre que qualquer das combinações A^{c}, B, C ; A, B^{c}, C ; \ldots ; A^{c}, B^{c}, C ; \ldots ; A^{c}, B^{c}, C^{c} são também independentes. Além disso, mostre que A e B \cup C são independentes; e assim por diante.

Passo 1

O enunciado dá que A,B,C são eventos independentes (isto é, independência mútua: valem as igualdades de probabilidade para pares e para o triplo). As perguntas são:
  • Mostrar que qualquer combinação em que se troque alguns eventos por seus complementos — por exemplo \,A^{c},B,C\,,\;A,B^{c},C\,,\;A^{c},B^{c},C\,,\;\ldots,\;A^{c},B^{c},C^{c}\, — também forma um conjunto de eventos independentes (ou seja, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades).
  • Mostrar que A e B\cup C são independentes (isto é, \;P\!\bigl(A\cap(B\cup C)\bigr)=P(A)\,P(B\cup C)\;), e o mesmo tipo de resultado “e assim por diante” para outras semelhantes.
Informações relevantes dadas:
  • Para os dados de independência vale, em particular, P(A\cap B)=P(A)P(B),\qquad P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)},\qquad P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)},e P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}.

Passo 2

Lembrando algumas identidades úteis de probabilidade (ferramentas que vamos usar):
  • Para qualquer par de eventos X,Y, P(X\cap Y)=P(Y)-P(X^{c}\cap Y).Em particular, P(X^{c}\cap Y)=P(Y)-P(X\cap Y).Essa igualdade vem do fato de que Y=(X\cap Y)\cup(X^{c}\cap Y) é união disjunta.
  • Para três eventos X,Y,Z vale a fórmula de inclusão-exclusão para interseções/uniões quando necessária. Ex.: X^{c}\cap Y^{c}\cap Z = Z \setminus (X\cup Y),que se expande como X^{c}\cap Y^{c}\cap Z = Z - (X\cap Z) - (Y\cap Z) + (X\cap Y\cap Z).
Essas identidades permitem escrever probabilidades com complementos em termos de probabilidades de interseções simples (que sabemos transformar em produto usando independência).

Passo 3

Mostro primeiro um caso simples: provar que \,A^{c},B,C\, são independentes, ou seja
P\bigl(A^{c}\cap B\cap C\bigr)=P(A^{c})\,P(B)\,P\text{(C)}.
Usando a identidade do passo anterior,
P\bigl(A^{c}\cap B\cap C\bigr)=P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C).
Pela independência dada, P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)} e P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}. Então
P\bigl(A^{c}\cap B\cap C\bigr)=P(B)P\text{(C)}-P(A)P(B)P\text{(C)}=\bigl(1-P(A)\bigr)P(B)P\text{(C)}.
Como 1-P(A)=P(A^{c}), obtemos
P\bigl(A^{c}\cap B\cap C\bigr)=P(A^{c})\,P(B)\,P\text{(C)},
o que prova a independência do triplo \,A^{c},B,C.

Passo 4

Pelo mesmo raciocínio simétrico (troca de papéis entre A,B,C) concluímos imediatamente que qualquer uma das situações com apenas um complemento, isto é \,A^{c},B,C\,,\;A,B^{c},C\,,\;A,B,C^{c}\,, tem a propriedade
P(\text{interseção})=P(\text{cada evento})\\ \text{(produto)}.çã
O cálculo é idêntico: expressar a interseção com um complemento como diferença de uma interseção sem complemento, e aplicar a independência conhecida.

Passo 5

Agora trato do caso com dois complementos, por exemplo \,A^{c},B^{c},C\,. Escrevo a identidade da união/disjunção:
A^{c}\cap B^{c}\cap C = C \setminus (A\cup B).
Expandindo (inclusão-exclusão)
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\cap C\bigr)=P\text{(C)}-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).
Substituindo pelas probabilidades produto (por independência),
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\cap C\bigr)=P\text{(C)}-P(A)P\text{(C)}-P(B)P\text{(C)}+P(A)P(B)P\text{(C)}.
Fatorando P\text{(C)},
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\cap C\bigr)=\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)P\text{(C)}=P(A^{c})P(B^{c})P\text{(C)}.
Assim \,A^{c},B^{c},C\, são independentes. Por simetria, qualquer combinação com exatamente dois complementos também é independente.

Passo 6

Caso com todos os três complementos: calcule
P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}\bigr)=1-P(A\cup B\cup C).
Pela fórmula da união com três eventos e usando independência para substituir interseções por produtos, obtemos
\begin{aligned} P\bigl(A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}\bigr) &=1-\bigl(P(A)+P(B)+P\text{(C)}-P(A)P(B)-P(A)P\text{(C)}-P(B)P\text{(C)}+P(A)P(B)P\text{(C)}\bigr)\\\ &=\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)\bigl(1-P\text{(C)}\bigr)\\\ &=P(A^{c})P(B^{c})P(C^{c}). \end{aligned}
Portanto \,A^{c},B^{c},C^{c}\, são independentes. Isso fecha os casos restantes.

Passo 7

Conclusão sobre todos os padrões: os cálculos dos passos anteriores mostram o padrão geral: para qualquer escolha X_A\in\{A,A^{c}\}, X_B\in\{B,B^{c}\}, X_C\in\{C,C^{c}\},
P\bigl(X_A\cap X_B\cap X_C\bigr)=P(X_A)P(X_B)P(X_C).
A demonstração usa apenas as identidades do passo 2 e a independência das interseções não complementadas, e vale por simetria para todas as 2^{3}=8 combinações. Assim todas as combinações pedidas são independentes.

Passo 8

Agora mostro que A e B\cup C são independentes. Calculo
P\bigl(A\cap(B\cup C)\bigr)=P(A\cap B)+P(A\cap C)-P(A\cap B\cap C).
Pela independência dada, P(A\cap B)=P(A)P(B), P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)} e P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P\text{(C)}. Substituindo:
\begin{aligned} P\bigl(A\cap(B\cup C)\bigr) &=P(A)P(B)+P(A)P\text{(C)}-P(A)P(B)P\text{(C)}\\\ &=P(A)\bigl(P(B)+P\text{(C)}-P(B)P\text{(C)}\bigr). \end{aligned}
Mas P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}-P(B\cap C)=P(B)+P\text{(C)}-P(B)P\text{(C)} (usando P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)}). Portanto
P\bigl(A\cap(B\cup C)\bigr)=P(A)\,P(B\cup C),
isto é, A e B\cup C são independentes.

Passo 9

Comentário final e extensão: o mesmo cálculo mostra que A\cup B é independente de C, e que, em geral, se três eventos são mutuamente independentes então qualquer evento formado por operações booleanas (complemento, união, interseção) em um subgrupo dos eventos será independente dos eventos formados por operações nos demais, contanto que se usem as expressões por inclusão-exclusão e a independência original para substituir interseções por produtos. No enunciado pediam especificamente “e assim por diante”, e esse é o mecanismo que permite estender os resultados.

Resposta

Todas as 8 combinações \;A^{\varepsilon_A},B^{\varepsilon_B},C^{\varepsilon_C} with \varepsilon_i\in\{\,0,1\,\} (onde E^{0}=E e E^{1}=E^{c}) são independentes, ou seja
P\bigl(A^{\varepsilon_A}\cap B^{\varepsilon_B}\cap C^{\varepsilon_C}\bigr)=P\bigl(A^{\varepsilon_A}\bigr)P\bigl(B^{\varepsilon_B}\bigr)P\bigl(C^{\varepsilon_C}\bigr).
Além disso, A e B\cup C são independentes, isto é
P\bigl(A\cap(B\cup C)\bigr)=P(A)\,P(B\cup C).

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