63 São dados três vetores em metros:
l d1=-3,0 i+3,0 j+2,0 k d2=-2,0 i-4,0 j+2,0 k d3=2,0 i+3,0 j+1,0 k
Determine (a) d1 cdot(d2+d3), (b) d1 cdot(d2 times d3) e © d1 times(d2+d3).

Passo 1

Então, o que rolou aqui é que a gente tem três vetores em 3D:
vec d1 = -3,hatimath + 3,hatjmath + 2,hat k, vec d2 = -2,hatimath - 4,hatjmath + 2,hat k, vec d3 = 2,hatimath + 3,hatjmath + 1,hat k
O conteúdo é Álgebra Vetorial: soma de vetores, produto escalar e produto vetorial.
Para desenrolar a parada a gente vai precisar das fórmulas:
  1. Soma componente a componente.
  2. Produto escalar: .
  3. Produto vetorial: determinante com .

Passo 2

Primeiro, monta vec d2+vec d3 =(-2+2),hatimath +(-4+3),hatjmath +(2+1),hat k =0,hatimath -1,hatjmath +3,hat k .
Teoria: soma de vetores é feita componente a componente.

Passo 3

Agora o item (a): vec d1cdot(vec d2+vec d3) =(-3)cdot0 + 3cdot(-1) + 2cdot3 =0 -3 +6 =3 .
Teoria: produto escalar é a soma dos produtos das componentes.

Passo 4

Para (b) a gente precisa primeiro de vec d2timesvec d3 = hatimath & hatjmath & hat k -2 & -4 & 2 2 & 3 & 1 =hatimath[(-4)cdot1 - 2cdot3] -hatjmath[(-2)cdot1 - 2cdot2] +hat k[(-2)cdot3 - (-4)cdot2] .
Teoria: produto vetorial via determinante
hatimath(-4-6) ;-;hatjmath(-2-4);+;hat k(-6+8) =-10,hatimath +6,hatjmath +2,hat k
Calculando cada termo:

Passo 5

Ainda pro (b), faz vec d1cdot(-10,hatimath+6,hatjmath+2,hat k) =(-3)(-10) + 3cdot6 + 2cdot2 =30 +18 +4 =52 .

Passo 6

Para ©, a gente quer vec d1times(vec d2+vec d3) = hatimath & hatjmath & hat k -3 & 3 & 2 0 & -1 & 3 =hatimath[3cdot3 - 2cdot(-1)] -hatjmath[(-3)cdot3 - 2cdot0] +hat k[(-3)cdot(-1)-3cdot0] .
Já sabemos hatimath(9+2) ;-;hatjmath(-9-0);+;hat k(3-0) =11,hatimath +9,hatjmath +3,hat k .
Usa de novo o determinante:
Calculando:

Resposta

(a)
(b)
©

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