Suponha a existência de um planeta de massa M e raio R em um universo hipotético onde a lei da gravitação é descrita por:
F=-G M mr^4
(a) Determine a altura máxima que uma partícula de massa m lançada da superfície desse planeta com velocidade inicial v0 atingirá; e
(b) A velocidade de escape desse planeta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um planeta com massa $ M $ e raio $ R $, e a força da gravitação nele é dada por:
M
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ m $ é a massa da partícula, e $ r $ é a distância do centro do planeta. Vamos usar conceitos de energia mecânica e leis de conservação para resolver as partes (a) e (b) do problema.

Passo 2

Parte (a): Altura Máxima da Partícula
Primeiro, queremos encontrar a altura máxima $ h $ que uma partícula de massa $ m $ atingirá quando lançada da superfície com velocidade inicial $ v_0 $. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) permanece constante se não há forças não conservativas atuando.
A energia cinética inicial é:
h é
A energia potencial gravitacional $ U® $ para essa força é obtida integrando a força:
m
Podemos escolher a constante $ C = 0 $ para simplificar, então:
v0
Na superfície do planeta ($ r = R $), a energia potencial é:
Ecinética inicial = 12 m v0^2
No ponto mais alto ($ r = R + h $), a velocidade é zero, então a energia cinética é zero, e a energia potencial é:
U(r)
Pela conservação da energia:
U(r) = -integral F , dr = -integral (-G M mr^4) dr = G M m3 r^3 + C é
Substituindo:
C = 0

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir todos os termos por $ m $ (já que $ m \neq 0 $):
m
Queremos isolar $ h $, então vamos reorganizar a equação:
m neq 0
Factorando $ \frac{G M}{3} $:
12 v0^2 + G M3 R^3 = G M3 (R + h)^3
Para simplificar ainda mais, vamos multiplicar ambos os lados por $ 3 $:
h
Esta equação pode ser resolvida numericamente para encontrar $ h $, dependendo dos valores de $ G $, $ M $, $ R $ e $ v_0 $.

Passo 4

Parte (b): Velocidade de Escape
Agora, vamos encontrar a velocidade de escape $ v_{esc} $, que é a velocidade mínima necessária para a partícula escapar da atração gravitacional do planeta e ir para longe.
Novamente, usamos a conservação da energia. Para escapar, a energia cinética inicial deve ser igual à energia potencial no infinito (que, nesse caso, é zero):
vesc
Isolando $ v_{esc} $:
12 m vesc^2 + G M m3 R^3 = 0
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por $ m $:
vesc
Como velocidade é positiva, descartamos o sinal negativo:
12 m vesc^2 = -G M m3 R^3

Resposta

(a) A altura máxima $ h $ é encontrada resolvendo a equação
h
(b) A velocidade de escape é
12 v0^2 = G M3 ( 1(R + h)^3 - 1R^3 )

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