Suponha a existência de um planeta de massa
e raio
em um universo hipotético onde a lei da gravitação é descrita por:
(a) Determine a altura máxima que uma partícula de massa
lançada da superfície desse planeta com velocidade inicial
atingirá; e
(b) A velocidade de escape desse planeta.
(b) A velocidade de escape desse planeta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um planeta com massa $ M $ e raio $ R $, e a força da gravitação nele é dada por:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ m $ é a massa da partícula, e $ r $ é a distância do centro do planeta. Vamos usar conceitos de energia mecânica e leis de conservação para resolver as partes (a) e (b) do problema.
Passo 2
Parte (a): Altura Máxima da Partícula
Primeiro, queremos encontrar a altura máxima $ h $ que uma partícula de massa $ m $ atingirá quando lançada da superfície com velocidade inicial $ v_0 $. Para isso, vamos usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) permanece constante se não há forças não conservativas atuando.
A energia cinética inicial é:
A energia potencial gravitacional $ U® $ para essa força é obtida integrando a força:
Podemos escolher a constante $ C = 0 $ para simplificar, então:
Na superfície do planeta ($ r = R $), a energia potencial é:
No ponto mais alto ($ r = R + h $), a velocidade é zero, então a energia cinética é zero, e a energia potencial é:
Pela conservação da energia:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir todos os termos por $ m $ (já que $ m \neq 0 $):
Queremos isolar $ h $, então vamos reorganizar a equação:
Factorando $ \frac{G M}{3} $:
Para simplificar ainda mais, vamos multiplicar ambos os lados por $ 3 $:
Esta equação pode ser resolvida numericamente para encontrar $ h $, dependendo dos valores de $ G $, $ M $, $ R $ e $ v_0 $.
Passo 4
Parte (b): Velocidade de Escape
Agora, vamos encontrar a velocidade de escape $ v_{esc} $, que é a velocidade mínima necessária para a partícula escapar da atração gravitacional do planeta e ir para longe.
Novamente, usamos a conservação da energia. Para escapar, a energia cinética inicial deve ser igual à energia potencial no infinito (que, nesse caso, é zero):
Isolando $ v_{esc} $:
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por $ m $:
Como velocidade é positiva, descartamos o sinal negativo:
Resposta
(a) A altura máxima $ h $ é encontrada resolvendo a equação
(b) A velocidade de escape é