3.63 Um tubo de vapor, com raio externo
, está recoberto por uma camada de isolamento de amianto de espessura
, condutividade térmica
recoberto, por sua vez, com um isolamento de fibra de vidro de espessura
e condutividade térmica
. A superfície do tubo está à temperatura de
, e a superfície externa do isolamento de fibra de vidro está a
.
(a) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro.
(b) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.
(a) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro.
(b) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- raio externo do tubo (superfície quente):
(converti para metros); - espessura da camada de amianto:
( ); - condutividade térmica do amianto:
; - espessura da camada de fibra de vidro:
( ); - condutividade térmica da fibra de vidro:
(o enunciado não forneceu um valor numérico para ; este valor é necessário para obter resultados numéricos); - temperatura da superfície do tubo (interna do isolamento):
; - temperatura da superfície externa do isolamento:
.
Do que o enunciado pede:
(a) determinar a temperatura da interface entre as duas camadas (isto é, na superfície entre o amianto e a fibra de vidro);
(b) determinar a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo (isto é, em
).
(a) determinar a temperatura da interface entre as duas camadas (isto é,
(b) determinar a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo (isto é,
Observação importante: como o valor de
não foi fornecido no enunciado que recebi, não é possível obter valores numéricos finais sem essa informação. Vou, portanto, desenvolver o método completo, dar as fórmulas finais em função de
(para que você possa calcular imediatamente se souber
) e, opcionalmente, mostrar um exemplo numérico assumindo um valor típico de
.
Passo 2
Entendendo a condução radial em cascas cilíndricas (a ideia física e a fórmula que vamos usar).
A transferência de calor por condução, em regime estacionário e unidimensional radial através de uma casca cilíndrica de comprimento
, obedece à lei de Fourier no sentido radial. Se considerarmos uma casca cilíndrica entre raios
e
com condutividade
, a resistência térmica dessa casca (por unidade de comprimento, isto é, tomando
) é dada por:
Explicando os termos:
-
é a resistência térmica da casca cilíndrica (unidade por metro de comprimento); -
é a condutividade térmica do material ( ); -
e são os raios interno e externo da casca (m); - o fator
aparece na área lateral e a integração logarítmica dá essa expressão.
Quando há várias camadas concêntricas sem resistências de convecção (a fronteira externa está a temperatura conhecida), as resistências se somam (como resistores em série):
A taxa de calor por unidade de comprimento é
A temperatura da interface após a primeira resistência é obtida subtraindo a queda de temperatura sobre a primeira resistência:
Outra forma equivalente, muito prática, é usar a divisão de potencial térmico:
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: identificar os raios das superfícies.
- raio da superfície quente do tubo (dado):
; - raio entre amianto e fibra de vidro (superfície externa da camada 1):
; - raio externo do isolamento de fibra de vidro:
.
Agora as resistências por unidade de comprimento (comprimento de referência
):
Resistência da camada de amianto (camada 1):
Se calcularmos esse número:
Resistência da camada de fibra de vidro (camada 2), expressa em função de
:
Calculando a constante logarítmica:
então
onde o número
resulta de
.
Passo 4
Resistência total e expressão para a taxa de calor por metro.
A resistência total por metro é
A diferença de temperatura total é
.
Portanto a taxa de calor por metro é
Este é o valor em função de
. Assim que o valor numérico de
for conhecido, basta substituir e calcular.
Passo 5
Expressão para a temperatura da interface
.
Usando a divisão das quedas de temperatura:
Substituindo
e
:
Ou, para evitar frações dentro de frações, multiplicando numerador e denominador por
:
Isto dá
em função de
.
Passo 6
Exemplo numérico (opcional): se quiser ver um número concreto, use um valor típico de condutividade da fibra de vidro. Por exemplo, para fibra de vidro é comum usar
. (ATENÇÃO: este valor é um exemplo — não foi fornecido no enunciado; se você tiver outro valor, substitua.)
Com
:
queda de temperatura na primeira camada:
Isto apenas ilustra o método — repito: para resultado oficial use o
que vier no enunciado ou no seu material.
Passo 7
Resumo do procedimento que você deve aplicar rapidamente na prova:
- converter comprimentos para metros e calcular
e ; - calcular
e com a fórmula da casca cilíndrica; - somar para obter
; - obter
; - obter
(ou usar a fração ).
Vai dar certo — com esses passos você consegue fazer rápido na prova, é só prestar atenção às unidades e ter o valor de
.
Resposta
(a)
com
e
. Em forma explícita:
(b)