3.63 Um tubo de vapor, com raio externo r_{l}=4 \mathrm{~cm}, está recoberto por uma camada de isolamento de amianto de espessura L_{1}=1 \mathrm{~cm}, condutividade térmica k_{1}=0,15 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) recoberto, por sua vez, com um isolamento de fibra de vidro de espessura L_{2}=3 \mathrm{~cm} e condutividade térmica k_{2}=\mathrm{W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). A superfície do tubo está à temperatura de 330^{\circ} \mathrm{C}, e a superfície externa do isolamento de fibra de vidro está a 30^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Determine a temperatura da interface entre as camadas de amianto e de fibra de vidro.
(b) Determine a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • raio externo do tubo (superfície quente): r_{1}=0,04\\ \mathrm{m} (converti 4\\ \mathrm{cm} para metros);
  • espessura da camada de amianto: L_{1}=0,01\\ \mathrm{m} ( 1\\ \mathrm{cm});
  • condutividade térmica do amianto: k_{1}=0,15\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot {^\circ\mathrm{C}});
  • espessura da camada de fibra de vidro: L_{2}=0,03\\ \mathrm{m} ( 3\\ \mathrm{cm});
  • condutividade térmica da fibra de vidro: k_{2} (o enunciado não forneceu um valor numérico para k_{2}; este valor é necessário para obter resultados numéricos);
  • temperatura da superfície do tubo (interna do isolamento): T_{1}=330{^\circ\mathrm{C}};
  • temperatura da superfície externa do isolamento: T_{3}=30{^\circ\mathrm{C}}.
Do que o enunciado pede:
(a) determinar a temperatura da interface entre as duas camadas (isto é, T_{2} na superfície entre o amianto e a fibra de vidro);
(b) determinar a taxa de transferência de calor por metro de comprimento do tubo (isto é, \dot{Q}' em \mathrm{W/m}).
Observação importante: como o valor de k_{2} não foi fornecido no enunciado que recebi, não é possível obter valores numéricos finais sem essa informação. Vou, portanto, desenvolver o método completo, dar as fórmulas finais em função de k_{2} (para que você possa calcular imediatamente se souber k_{2}) e, opcionalmente, mostrar um exemplo numérico assumindo um valor típico de k_{2}.

Passo 2

Entendendo a condução radial em cascas cilíndricas (a ideia física e a fórmula que vamos usar).
A transferência de calor por condução, em regime estacionário e unidimensional radial através de uma casca cilíndrica de comprimento L, obedece à lei de Fourier no sentido radial. Se considerarmos uma casca cilíndrica entre raios r_a e r_b com condutividade k, a resistência térmica dessa casca (por unidade de comprimento, isto é, tomando L=1\\ \mathrm{m}) é dada por:
R_{\text{cil}}=\frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_b}{r_a}\right).
Explicando os termos:
  • R_{\text{cil}} é a resistência térmica da casca cilíndrica (unidade \mathrm{K/W} por metro de comprimento);
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}));
  • r_a e r_b são os raios interno e externo da casca (m);
  • o fator 2\pi r L aparece na área lateral e a integração logarítmica dá essa expressão.
Quando há várias camadas concêntricas sem resistências de convecção (a fronteira externa está a temperatura conhecida), as resistências se somam (como resistores em série):
R_{\text{total}}=R_1+R_2+\cdots
A taxa de calor por unidade de comprimento é
\dot{Q}'=\frac{T_{1}-T_{3}}{R_{\text{total}}}.
A temperatura da interface após a primeira resistência é obtida subtraindo a queda de temperatura sobre a primeira resistência:
T_{2}=T_{1}-\dot{Q}'\,R_{1}.
Outra forma equivalente, muito prática, é usar a divisão de potencial térmico:
T_{2}=T_{1}-(T_{1}-T_{3})\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: identificar os raios das superfícies.
  • raio da superfície quente do tubo (dado): r_{1}=0,04\\ \mathrm{m};
  • raio entre amianto e fibra de vidro (superfície externa da camada 1): r_{2}=r_{1}+L_{1}=0,04+0,01=0,05\\ \mathrm{m};
  • raio externo do isolamento de fibra de vidro: r_{3}=r_{2}+L_{2}=0,05+0,03=0,08\\ \mathrm{m}.
Agora as resistências por unidade de comprimento (comprimento de referência 1\\ \mathrm{m}):
Resistência da camada de amianto (camada 1):
R_{1}=\frac{1}{2\pi k_{1}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right) =\frac{1}{2\pi(0,15)}\ln\!\left(\frac{0,05}{0,04}\right).
Se calcularmos esse número:
\ln\!\left(\frac{0,05}{0,04}\right)=\ln(1,25)\approx 0,22314355,
2\pi k_{1}=2\pi(0,15)\approx 0,9424778,
R_{1}\approx\frac{0,22314355}{0,9424778}\approx 0,23696\\ \mathrm{K/W}\\ \text{(por m)}.
Resistência da camada de fibra de vidro (camada 2), expressa em função de k_{2}:
R_{2}=\frac{1}{2\pi k_{2}}\ln\!\left(\frac{r_{3}}{r_{2}}\right) =\frac{1}{2\pi k_{2}}\ln\!\left(\frac{0,08}{0,05}\right).
Calculando a constante logarítmica:
\ln\!\left(\frac{0,08}{0,05}\right)=\ln(1,6)\approx 0,47000363,
então
R_{2}\approx\frac{0,47000363}{2\pi k_{2}}\approx\frac{0,07483}{k_{2}}\\ \mathrm{K/W}\\ \text{(por m)},
onde o número 0,07483 resulta de 0,47000363/(2\pi).

Passo 4

Resistência total e expressão para a taxa de calor por metro.
A resistência total por metro é
R_{\text{total}}=R_{1}+R_{2} =0,23696+\frac{0,07483}{k_{2}}\qquad\text{(unidade: K/W por m)}.
A diferença de temperatura total é (T_{1}-T_{3})=330-30=300\\ {^\circ\mathrm{C}}.
Portanto a taxa de calor por metro é
\dot{Q}'=\frac{T_{1}-T_{3}}{R_{\text{total}}} =\frac{300}{0,23696+\dfrac{0,07483}{k_{2}}}\\ \mathrm{W/m}.
Este é o valor em função de k_{2}. Assim que o valor numérico de k_{2} for conhecido, basta substituir e calcular.

Passo 5

Expressão para a temperatura da interface T_{2}.
Usando a divisão das quedas de temperatura:
T_{2}=T_{1}-(T_{1}-T_{3})\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}.
Substituindo R_{1} e R_{2}:
T_{2}=330-300\cdot\frac{0,23696}{0,23696+\dfrac{0,07483}{k_{2}}}\quad({^\circ\mathrm{C}}).
Ou, para evitar frações dentro de frações, multiplicando numerador e denominador por k_{2}:
T_{2}=330-300\cdot\frac{0,23696\,k_{2}}{0,23696\,k_{2}+0,07483}\quad({^\circ\mathrm{C}}).
Isto dá T_{2} em função de k_{2}.

Passo 6

Exemplo numérico (opcional): se quiser ver um número concreto, use um valor típico de condutividade da fibra de vidro. Por exemplo, para fibra de vidro é comum usar k_{2}\approx 0,04\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}). (ATENÇÃO: este valor é um exemplo — não foi fornecido no enunciado; se você tiver outro valor, substitua.)
Com k_{2}=0,04:
R_{2}\approx\frac{0,07483}{0,04}\approx 1,8708\\ \mathrm{K/W},
R_{\text{total}}\approx 0,23696+1,8708\approx 2,1078\\ \mathrm{K/W},
\dot{Q}'\approx\frac{300}{2,1078}\approx 142,3\\ \mathrm{W/m},
queda de temperatura na primeira camada:
\Delta T_1=\dot{Q}'R_{1}\approx 142,3\times 0,23696\approx 33,7{^\circ\mathrm{C}},
T_{2}\approx 330-33,7\approx 296,3{^\circ\mathrm{C}}.
Isto apenas ilustra o método — repito: para resultado oficial use o k_{2} que vier no enunciado ou no seu material.

Passo 7

Resumo do procedimento que você deve aplicar rapidamente na prova:
  1. converter comprimentos para metros e calcular r_{2} e r_{3};
  2. calcular R_{1} e R_{2} com a fórmula da casca cilíndrica;
  3. somar para obter R_{\text{total}};
  4. obter \dot{Q}'=(T_{1}-T_{3})/R_{\text{total}};
  5. obter T_{2}=T_{1}-\dot{Q}'R_{1} (ou usar a fração R_{1}/(R_{1}+R_{2})).
Vai dar certo — com esses passos você consegue fazer rápido na prova, é só prestar atenção às unidades e ter o valor de k_{2}.

Resposta

(a) T_{2}=330-300\cdot\displaystyle\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}} com R_{1}=\dfrac{\ln(0,05/0,04)}{2\pi(0,15)} e R_{2}=\dfrac{\ln(0,08/0,05)}{2\pi k_{2}}. Em forma explícita:
T_{2}=330-300\cdot\frac{0,23696}{0,23696+\dfrac{0,07483}{k_{2}}}\quad({^\circ\mathrm{C}}).
(b) \displaystyle \dot{Q}'=\frac{300}{R_{1}+R_{2}}=\frac{300}{0,23696+\dfrac{0,07483}{k_{2}}}\\ \mathrm{W/m}.

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