3.60 Uma parede composta é constituída por uma camada de tijolos com 10 cm de espessura e condutividade térmica k=0,7 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), e uma camada de gesso de 3 cm de espessura e condutividade térmica k=0,5 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Um material isolante, de condutividade térmica k=0,08 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) deve ser acrescentado para reduzir de 70 \% a transferência de calor através da placa. Determine a espessura da camada isolante.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a espessura de uma camada isolante que, adicionada a uma parede já formada por tijolo e gesso, reduza em 70\% a transferência de calor através da placa. Vou listar claramente os dados fornecidos e o que é pedido.
Dados:
  • Camada de tijolos: espessura L_{\text{tijolo}} = 0,10\\ \text{m} e condutividade térmica k_{\text{tijolo}} = 0,7\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Camada de gesso: espessura L_{\text{gesso}} = 0,03\\ \text{m} e condutividade térmica k_{\text{gesso}} = 0,5\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Camada isolante a adicionar: condutividade térmica k_{\text{isol}} = 0,08\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}). Espessura L_{\text{isol}} é o que se deve determinar.
  • Interpretação do pedido: “reduzir de 70\% a transferência de calor” significa que a nova taxa de transferência de calor deve ser 30\% da original (isto é, reduzir em 70\% o fluxo térmico). Vou usar essa interpretação (se a sua prova usar outra interpretação, avisa-me, mas esta é a mais comum).
O que pedirão na prova:
  • Calcular L_{\text{isol}} tal que a razão entre o novo fluxo de calor q_{\text{novo}} e o fluxo antigo q_{\text{antigo}} seja q_{\text{novo}} = 0{,}30\,q_{\text{antigo}}.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas essenciais (explicação didática):
  • Em regime permanente e condução unidimensional através de camadas planas em série, a resistência térmica de uma camada homogênea por unidade de área é dada por
R = \frac{L}{k},
onde R tem unidades \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}, L é a espessura em metros e k é a condutividade térmica em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}). Explicando: quanto maior L ou menor k, maior a resistência térmica da camada — ou seja, mais difícil o calor atravessar.
  • Para camadas em série, as resistências somam:
R_{\text{total}} = R_{\text{tijolo}} + R_{\text{gesso}} + R_{\text{isol}},
com cada R calculado por \dfrac{L}{k}.
  • O fluxo de calor por unidade de área através da parede é
q = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}},
onde \Delta T é a diferença de temperatura entre os dois lados da parede. Observação importante: como \Delta T é a mesma antes e depois da inclusão do isolante, as comparações podem ser feitas via resistências sem precisar conhecer \Delta T.
Relação desejada entre fluxos:
q_{\text{novo}} = 0{,}30\,q_{\text{antigo}}.
Substituindo q=\Delta T/R obtemos
\frac{\Delta T}{R_{\text{novo}}} = 0{,}30\cdot\frac{\Delta T}{R_{\text{antigo}}} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{R_{\text{novo}}} = \frac{0{,}30}{R_{\text{antigo}}}.
Isolando R_{\text{novo}}:
R_{\text{novo}} = \frac{R_{\text{antigo}}}{0{,}30} = \frac{10}{3}\,R_{\text{antigo}}.
Portanto, a resistência adicional requerida é
R_{\text{isol}} = R_{\text{novo}} - R_{\text{antigo}} = \left(\frac{10}{3}-1\right)R_{\text{antigo}} = \frac{7}{3}\,R_{\text{antigo}}.
Isto é uma expressão prática: primeiro calcule R_{\text{antigo}}, depois multiplica por 7/3 para obter R_{\text{isol}}, e então L_{\text{isol}} = k_{\text{isol}}\,R_{\text{isol}}.

Passo 3

Calcular as resistências das camadas existentes (mostrando as contas passo a passo).
Resistência do tijolo:
R_{\text{tijolo}} = \frac{L_{\text{tijolo}}}{k_{\text{tijolo}}} = \frac{0{,}10}{0{,}7}\\ \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}.
Fazendo a divisão:
\frac{0{,}10}{0{,}7} = 0{,}142857\ldots
Logo
R_{\text{tijolo}} \approx 0{,}142857\\ \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}.
Resistência do gesso:
R_{\text{gesso}} = \frac{L_{\text{gesso}}}{k_{\text{gesso}}} = \frac{0{,}03}{0{,}5}\\ \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}.
Fazendo a divisão:
\frac{0{,}03}{0{,}5} = 0{,}06.
Logo
R_{\text{gesso}} = 0{,}06\\ \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}.
Resistência térmica atual total:
R_{\text{antigo}} = R_{\text{tijolo}} + R_{\text{gesso}} = 0{,}142857\ldots + 0{,}06 = 0{,}202857\ldots
Arredondando convenientemente:
R_{\text{antigo}} \approx 0{,}202857\\ \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}.

Passo 4

Determinar a resistência que a camada isolante precisa ter.
Usando a relação obtida no Passo 2:
R_{\text{isol}} = \frac{7}{3}\,R_{\text{antigo}}.
Substituindo o valor numérico:
R_{\text{isol}} = \frac{7}{3}\times 0{,}202857\ldots = 0{,}473333\ldots\\ \mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}/\mathrm{W}.

Passo 5

Converter a resistência requerida em espessura do isolante.
Como R_{\text{isol}} = \dfrac{L_{\text{isol}}}{k_{\text{isol}}}, tem-se
L_{\text{isol}} = k_{\text{isol}}\,R_{\text{isol}}.
Substituindo k_{\text{isol}} = 0{,}08\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}) e R_{\text{isol}} \approx 0{,}473333:
L_{\text{isol}} = 0{,}08 \times 0{,}473333\ldots\\ \text{m} = 0{,}03786666\ldots\\ \text{m}.
Convertendo para centímetros:
L_{\text{isol}} \approx 3{,}7867\\ \text{cm}.
Arredondando de forma razoável para a prova (duas casas decimais em cm):
L_{\text{isol}} \approx 3{,}79\\ \text{cm}.

Passo 6

Verificação rápida por sentido físico e dica prática:
  • Sem isolante: fluxo proporcional a 1/0{,}202857 \approx 4{,}931\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • Com isolante de L_{\text{isol}} calculado, R_{\text{novo}} = R_{\text{antigo}} + R_{\text{isol}} \approx 0{,}202857 + 0{,}473333 = 0{,}67619, e 1/R_{\text{novo}} \approx 1{,}478. A razão 1{,}478 / 4{,}931 \approx 0{,}30, ou seja, o fluxo é cerca de 30\% do original — confirma a redução de 70\%.
  • Dica para a prova: explique claramente que se compara resistências porque \Delta T é a mesma; escreva a relação algébrica entre q e R e isole R_{\text{isol}} antes de inserir números — isso evita erros e economiza tempo.

Resposta

L_{\text{isol}} \approx 0{,}03787\\ \text{m} \approx 3{,}79\\ \text{cm}

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