3.59 Uma parede composta é feita de ferro, com 1 cm de espessura [ k=60 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) ], fibra de vidro, com 4 cm de espessura \left[k=0,04 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right], e uma camada de amianto com 0,4 \mathrm{~cm} de espessura \left[k=0,2 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right].
(a) Determine o coeficiente de transferéncia de calor total.
(b) Determine a taxa de transferéncia de calor através desta parede composta, por metro quadrado, com uma diferença de temperatura de 400^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá uma parede composta por três camadas em série (espessura por unidade de área) e pede duas coisas:
  • (a) determinar o coeficiente de transferência de calor total (por metro quadrado);
  • (b) determinar a taxa de transferência de calor através da parede por metro quadrado quando a diferença de temperatura é 400^\circ\mathrm{C}.
Informações fornecidas:
  • Camada de ferro: espessura L_{\text{ferro}}=0,01\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado) e condutividade térmica k_{\text{ferro}}=60\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)} (peguei do enunciado).
  • Camada de fibra de vidro: espessura L_{\text{fibra}}=0,04\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado) e k_{\text{fibra}}=0,04\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)} (peguei do enunciado).
  • Camada de amianto: espessura L_{\text{amianto}}=0,004\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado) e k_{\text{amianto}}=0,2\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)} (peguei do enunciado).
  • Diferença de temperatura para (b): \Delta T=400^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para condução unidimensional através de várias camadas em série, cada camada oferece uma resistência térmica à condução dada por
R=\frac{L}{kA},
onde L é a espessura da camada (m), k é a condutividade térmica (W/(m·°C)) e A é a área (m^2). A unidade de R é \mathrm{m^2\cdot{}^\circ C/W}.
  • Se quisermos resultados “por metro quadrado”, tomamos A=1\\ \mathrm{m^2}. Assim a resistência por unidade de área é simplesmente R=L/k.
  • As resistências das camadas em série somam-se:
R_{\text{total}}=\sum_i R_i.
  • O coeficiente de transferência de calor total por unidade de área (também chamado U) é o inverso da resistência total:
U=\frac{1}{R_{\text{total}}}.
  • A taxa de transferência de calor por unidade de área (fluxo de calor) é
\frac{q}{A}=U\,\Delta T.
Explicando em linguagem simples: pense nas camadas como resistências elétricas em série — quanto maior a resistência térmica total, menor o fluxo de calor para uma mesma diferença de temperatura.

Passo 3

Calcular as resistências por unidade de área de cada camada (aqui usei A=1\\ \mathrm{m^2}).
Para o ferro:
R_{\text{ferro}}=\frac{L_{\text{ferro}}}{k_{\text{ferro}}}=\frac{0,01}{60}=0,0001666667\\ \mathrm{m^2\cdot{}^\circ C/W}.
Para a fibra de vidro:
R_{\text{fibra}}=\frac{L_{\text{fibra}}}{k_{\text{fibra}}}=\frac{0,04}{0,04}=1,0\\ \mathrm{m^2\cdot{}^\circ C/W}.
Para o amianto:
R_{\text{amianto}}=\frac{L_{\text{amianto}}}{k_{\text{amianto}}}=\frac{0,004}{0,2}=0,02\\ \mathrm{m^2\cdot{}^\circ C/W}.
Observação amistosa: repare que a camada de fibra de vidro é a dominante — mesmo sendo só 4\\ \mathrm{cm}, seu k é muito pequeno e gera resistência grande.

Passo 4

Somar as resistências para obter a resistência total por unidade de área:
R_{\text{total}}=R_{\text{ferro}}+R_{\text{fibra}}+R_{\text{amianto}}=0,0001666667+1,0+0,02=1,0201666667\\ \mathrm{m^2\cdot{}^\circ C/W}.

Passo 5

Calcular o coeficiente de transferência de calor total U (inverso da resistência total):
U=\frac{1}{R_{\text{total}}}=\frac{1}{1,0201666667}=0,9802219\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.
Arredondando com três casas significativas fica U\approx0,980\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.

Passo 6

Calcular a taxa de transferência de calor por metro quadrado para \Delta T=400^\circ\mathrm{C}:
\frac{q}{A}=U\,\Delta T=0,9802219\times400=392,08876\\ \mathrm{W/m^2}.
Arredondando com três casas significativas: \dfrac{q}{A}\approx392\\ \mathrm{W/m^2}.

Resposta

(a) U=0,980\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}
(b) \dfrac{q}{A}=392\\ \mathrm{W/m^2}

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