Q 63 Usando a definição de derivada, calcule f^prime(-1) para cada uma das funções dadas a seguir.
2raiz3-x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2raiz3-x no ponto x=-1 usando a definição de derivada. Vamos aplicar o conceito de quociente incremental, ou seja
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
com a=-1.

Passo 2

Calcular f(-1) e f(-1+h).
Temos
f(-1)=2raiz3-(-1)=2raiz4=1,
f(-1+h)=2raiz3-(-1+h)=2raiz4-h

Passo 3

Escrever o quociente incremental:
f(-1+h)-f(-1)h =2raiz4-h-1h =2-raiz4-hh,raiz4-h

Passo 4

Racionalizar o numerador multiplicando por tfrac2+raiz4-h2+raiz4-h:
2-raiz4-hh,raiz4-h cdot2+raiz4-h2+raiz4-h =4-(4-h)h,raiz4-h,(2+raiz4-h) =hh,raiz4-h,(2+raiz4-h) =1raiz4-h,(2+raiz4-h)

Passo 5

Agora basta tomar o limite hto0:
f'(-1) =limhto01raiz4-h,(2+raiz4-h) =1raiz4,(2+raiz4) =12cdot(2+2) =18

Resposta

f'(-1)=tfrac18

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