Exercício 3.8.3. Determine se a integral é imprópria e, se for, explique o porquê.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede para verificar se ela é imprópria. O conteúdo aqui é de integrais impróprias, que ocorrem quando o intervalo de integração é ilimitado ou quando a função integranda deixa de ser contínua em algum ponto do intervalo.
Passo 2
Analisando a função integranda
vemos que seu domínio natural é
. Em
o denominador fica
, fazendo
quando
. Assim
não é contínua no limite inferior do intervalo.
Passo 3
Além disso, o limite superior da integral é
, ou seja, o intervalo de integração é não limitado para a direita.
Passo 4
Portanto, a integral é imprópria por dois motivos distintos:
- A função integranda diverge em
. - O intervalo de integração se estende até
.
Resposta
A integral é imprópria porque a integranda não é contínua em
(há singularidade) e porque o intervalo
é ilimitado.