Exercício 3.8.3. Determine se a integral é imprópria e, se for, explique o porquê.
integral1^+infty d xraizx-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
integral1^+infty dxraizx-1
e pede para verificar se ela é imprópria. O conteúdo aqui é de integrais impróprias, que ocorrem quando o intervalo de integração é ilimitado ou quando a função integranda deixa de ser contínua em algum ponto do intervalo.

Passo 2

Analisando a função integranda
f(x)=1raizx-1,
vemos que seu domínio natural é x>1. Em x=1 o denominador fica raiz0=0, fazendo f(x)to+infty quando xto1^+. Assim f não é contínua no limite inferior do intervalo.

Passo 3

Além disso, o limite superior da integral é +infty, ou seja, o intervalo de integração é não limitado para a direita.

Passo 4

Portanto, a integral é imprópria por dois motivos distintos:
  1. A função integranda diverge em x=1.
  2. O intervalo de integração se estende até +infty.

Resposta

A integral é imprópria porque a integranda não é contínua em x=1 (há singularidade) e porque o intervalo [1,+infty) é ilimitado.

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