Exercício 3.8.3. Determine se a integral é imprópria e, se for, explique o porquê.
integral3^5 d xx-3

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
integral3^5dxx-3
e determinar se ela é imprópria. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias do tipo “singularidade no intervalo de integração”.

Passo 2

Identificamos a função integranda
f(x)=1x-3
O domínio de f é (-infty,3)cup(3,infty), logo em x=3 há uma descontinuidade infinita (a função “explode”).

Passo 3

Como o ponto x=3 é exatamente o limite inferior de integração e ali f não está definida, reescrevemos a integral como limite:
integral3^5dxx-3 =limvarepsilonto0^+integral3+varepsilon^5dxx-3

Passo 4

Calculamos a integral interna e o seu limite. Temos
integraldxx-3=lnl|x-3r|+C,
então
integral3+varepsilon^5dxx-3 =l[ln|x-3|r]3+varepsilon^5 =ln(5-3)-ln(varepsilon) =ln2-ln(varepsilon)
Ao fazer varepsilonto0^+, ln(varepsilon)to-infty, portanto
limvarepsilonto0^+l(ln2-lnvarepsilonr)=+infty
Isso mostra que a integral diverge.

Resposta

A integral é imprópria porque a integranda tfrac1x-3 tem singularidade em x=3 (limite inferior) e, ao examinar o limite, o valor da integral diverge para +infty.

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