Em um circuito R C série, \mathscr{E}=12,0 \mathrm{~V}, R=1,40 \mathrm{M} \Omega e C=1,80 \mu \mathrm{F}.
64 Um capacitor com uma diferença de potencial inicial de 100 V começa a ser descarregado por meio de um resistor quando uma chave é fechada no instante t=0. No instante t=10,0 \mathrm{~s}, a diferença de potencial no capacitor é 1,00 \mathrm{~V}. (a) Qual é a constante de tempo do circuito? (b) Qual é a diferença de potencial no capacitor no instante t=17,0 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações:
  • A diferença de potencial inicial no capacitor é \,V_0=100\\ \mathrm{V}.
  • No instante \,t=10{,}0\\ \mathrm{s} a diferença de potencial é \,V(10{,}0)=1{,}00\\ \mathrm{V}.
    Pedidos:
    (a) Determinar a constante de tempo \tau do circuito.
    (b) Calcular a diferença de potencial no capacitor no instante \,t=17{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito e fórmula necessária (explicadinha): para um capacitor descarregando por um resistor em série, a tensão no capacitor decai exponencialmente segundo a lei
V(t)=V_0 e^{-t/\tau}.
Aqui:
  • V(t) é a diferença de potencial no capacitor no instante t.
  • V_0 é a tensão inicial no capacitor (em t=0).
  • \tau é a constante de tempo do circuito, dada por \tau=RC se quisermos relacionar com R e C.
    A ideia prática: a tensão cai como uma exponencial, e \tau controla a rapidez dessa queda.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados conhecidos ( t=10{,}0\\ \mathrm{s}, V(10{,}0)=1{,}00\\ \mathrm{V}, V_0=100\\ \mathrm{V}):
1{,}00 = 100 \, e^{-10{,}0/\tau}.
Vamos manipular essa igualdade para isolar \tau.

Passo 4

Isolando a exponencial:
\frac{1{,}00}{100} = e^{-10{,}0/\tau}\quad\Rightarrow\quad 0{,}01 = e^{-10{,}0/\tau}.
Agora aplicamos o logaritmo natural (explicação: \ln é a função inversa da exponencial; \ln(e^x)=x). Tomando \ln em ambos os lados:
\ln(0{,}01) = -\frac{10{,}0}{\tau}.
Portanto
\tau = -\frac{10{,}0}{\ln(0{,}01)}.

Passo 5

Avaliação numérica de \tau. Sabemos que \ln(0{,}01)=\ln(10^{-2})=-2\ln(10) e \ln(10)\approx 2{,}302585. Logo
\ln(0{,}01) \approx -4{,}605170.
Substituindo:
\tau \approx -\frac{10{,}0}{-4{,}605170} = \frac{10{,}0}{4{,}605170} \approx 2{,}17\\ \mathrm{s}.
(Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados do enunciado.)

Passo 6

Agora queremos V(17{,}0). Usamos a mesma lei:
V(17{,}0)=100\,e^{-17{,}0/\tau}.
Em vez de recalcular exponenciais diretamente, uso um truque prático: já sabemos que e^{-10{,}0/\tau}=0{,}01. Então
e^{-17{,}0/\tau} = \bigl(e^{-10{,}0/\tau}\bigr)^{1{,}7} = (0{,}01)^{1{,}7}.
Como 0{,}01=10^{-2}, fica
(0{,}01)^{1{,}7} = 10^{-2\cdot 1{,}7} = 10^{-3{,}4}.
E 10^{-3{,}4}=10^{-4}\cdot 10^{0{,}6}. Sabemos que 10^{0{,}6}\approx 3{,}98107, portanto 10^{-3{,}4}\approx 3{,}98107\times 10^{-4}.

Passo 7

Calculando V(17{,}0):
V(17{,}0)=100\times 10^{-3{,}4} \approx 100\times 3{,}98107\times 10^{-4} = 3{,}98107\times 10^{-2}\\ \mathrm{V}.
Em forma decimal,
V(17{,}0)\approx 0{,}0398\\ \mathrm{V}.
Arredondei para três algarismos significativos (coerente com os dados).

Resposta

(a) \tau \approx 2{,}17\\ \mathrm{s}
(b) V(17{,}0) \approx 0{,}0398\\ \mathrm{V}

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