64 \% dos consumidores realizarão compras on-line para o Dia das Mães. A descoberta é de um novo estudo da AondeConvem, plataforma de varejo mobile. Admita que você disponha das decisões de compra dos próximos 100 clientes que acessarem a AondeConvem. Qual é a probabilidade de menos de 71,2 \% deles realizarem compras on-line para o Dia das Mães?

Passo 1

O enunciado diz que 64\% dos consumidores realizarão compras on-line. Você vai observar as decisões de compra dos próximos 100 clientes que acessarem a plataforma. A pergunta é: qual é a probabilidade de que menos de 71{,}2\% desses 100 clientes realizem compras on-line?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} &\text{Probabilidade individual de sucesso: } p = 0{,}64,\\\ &\text{Número de clientes observados: } n = 100,\\\ &\text{Limite pedido: menos de } 71{,}2\% \text{ dos }100 \text{ clientes.} \end{aligned}ú

Passo 2

Modelagem do problema: a quantidade de clientes que realizam compra on-line pode ser modelada por uma variável aleatória binomial. Definimos
X \sim \text{Binomial}(n,p),
onde X é o número de clientes (entre os 100) que compram on-line, n é o número total de clientes observados e p é a probabilidade de um cliente comprar on-line. Aqui n=100 e p=0{,}64.
Explicando a binomial (aula rápida): a distribuição binomial descreve o número de sucessos em n ensaios independentes, cada ensaio com probabilidade p de sucesso. Suas características importantes são a esperança (média) e a variância:
\text{E}(X)=np,\qquad \text{Var}(X)=np(1-p).
Essas fórmulas vêm do fato de somarmos n variáveis de Bernoulli independentes (cada uma valendo 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade 1-p).

Passo 3

Calculemos a média e o desvio padrão de X:
\text{E}(X)=np=100\cdot 0{,}64=64.
\text{Var}(X)=np(1-p)=100\cdot 0{,}64\cdot 0{,}36=23{,}04.
\text{Desvio padrão: }\sigma=\sqrt{\text{Var}(X)}=\sqrt{23{,}04}=4{,}8.ã

Passo 4

Decodificando o pedido: “menos de 71{,}2\%” de 100 clientes é “menos de 71{,}2 clientes”. Como X só assume valores inteiros, a condição “menos de 71{,}2” equivale a
X \le 71,
porque 71 < 71{,}2 e 72 já é maior que 71{,}2.
Agora, para calcular P(X\le 71) com n=100, usa-se normalmente a aproximação normal à binomial (Central Limit Theorem), desde que np e n(1-p) sejam razoavelmente grandes. Verificamos:
np=64\ge 10,\qquad n(1-p)=100\cdot 0{,}36=36\ge 10,
logo a aproximação normal é adequada.

Passo 5

Aplicando a aproximação normal com correção de continuidade (útil para melhorar a aproximação quando substituímos uma distribuição discreta por contínua): substituímos
P(X\le 71)\approx P\Big(Y \le 71{,}5\Big),
onde Y segue a normal aproximante Y\sim N(\mu,\sigma^2) com \mu=np=64 e \sigma=4{,}8. A correção de continuidade soma 0{,}5 ao ponto inteiro superior quando queremos \le.

Passo 6

Padronizamos para a normal padrão Z\sim N(0,1):
Z=\frac{Y-\mu}{\sigma}=\frac{71{,}5-64}{4{,}8}.
Calculemos o numerador e a razão:
71{,}5-64=7{,}5,
z=\frac{7{,}5}{4{,}8}=1{,}5625.

Passo 7

Agora precisamos de \Phi(z)=P(Z\le z) para z=1{,}5625. Consultando uma tabela da normal padrão ou usando interpolação entre valores tabelados:
\Phi(1{,}56)\approx 0{,}9406,\qquad \Phi(1{,}57)\approx 0{,}9418.
Fazendo interpolação linear para z=1{,}5625 (um quarto do caminho entre 1{,}56 e 1{,}57):
\Phi(1{,}5625)\approx 0{,}9406 + 0{,}25\cdot(0{,}9418-0{,}9406)=0{,}9406+0{,}0003=0{,}9409.

Passo 8

Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente 0{,}9409, ou em porcentagem cerca de 94{,}09\%. Intuitivamente: como a média esperada é 64 compras e 71 está cerca de 1{,}56 desvios padrão acima da média, é relativamente provável que o número observado seja menor que 71.

Resposta

0,9409

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