dos consumidores realizarão compras on-line para o Dia das Mães. A descoberta é de um novo estudo da AondeConvem, plataforma de varejo mobile. Admita que você disponha das decisões de compra dos próximos 100 clientes que acessarem a AondeConvem. Qual é a probabilidade de menos de
deles realizarem compras on-line para o Dia das Mães?
Passo 1
O enunciado diz que
dos consumidores realizarão compras on-line. Você vai observar as decisões de compra dos próximos
clientes que acessarem a plataforma. A pergunta é: qual é a probabilidade de que menos de
desses
clientes realizem compras on-line?\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Modelagem do problema: a quantidade de clientes que realizam compra on-line pode ser modelada por uma variável aleatória binomial. Definimos
onde
é o número de clientes (entre os
) que compram on-line,
é o número total de clientes observados e
é a probabilidade de um cliente comprar on-line. Aqui
e
.
Explicando a binomial (aula rápida): a distribuição binomial descreve o número de sucessos em
ensaios independentes, cada ensaio com probabilidade
de sucesso. Suas características importantes são a esperança (média) e a variância:
Essas fórmulas vêm do fato de somarmos
variáveis de Bernoulli independentes (cada uma valendo
com probabilidade
e
com probabilidade
).
Passo 3
Calculemos a média e o desvio padrão de
:
Passo 4
Decodificando o pedido: “menos de
” de
clientes é “menos de
clientes”. Como
só assume valores inteiros, a condição “menos de
” equivale a
porque
e
já é maior que
.
Agora, para calcular
com
, usa-se normalmente a aproximação normal à binomial (Central Limit Theorem), desde que
e
sejam razoavelmente grandes. Verificamos:
logo a aproximação normal é adequada.
Passo 5
Aplicando a aproximação normal com correção de continuidade (útil para melhorar a aproximação quando substituímos uma distribuição discreta por contínua): substituímos
onde
segue a normal aproximante
com
e
. A correção de continuidade soma
ao ponto inteiro superior quando queremos
.
Passo 6
Padronizamos para a normal padrão
:
Calculemos o numerador e a razão:
Passo 7
Agora precisamos de
para
. Consultando uma tabela da normal padrão ou usando interpolação entre valores tabelados:
Fazendo interpolação linear para
(um quarto do caminho entre
e
):
Passo 8
Portanto a probabilidade pedida é aproximadamente
, ou em porcentagem cerca de
. Intuitivamente: como a média esperada é
compras e
está cerca de
desvios padrão acima da média, é relativamente provável que o número observado seja menor que
.