4 Suponha que a proporção populacional seja 0,55 . Calcule o desvio padrão da proporção amostral para tamanhos de amostra de 100, 200, 500 e 1000. O que você pode dizer a respeito do tamanho do desvio padrão da proporção amostral à medida que o tamanho da amostra aumenta?
Passo 1
O enunciado diz que a proporção populacional é
) e pede para calcular o desvio padrão da proporção amostral (erro padrão) para tamanhos de amostra
,
,
e
. Além disso pede que comentemos o que acontece com esse desvio padrão quando o tamanho da amostra aumenta.
Informações dadas:
Informações dadas:
Tamanhos de amostra solicitados:
,
,
,
.
Passo 2
Fórmula que usamos (essa é a peça central): o desvio padrão da proporção amostral
) — também chamado erro padrão de
) — é dado por
Explicando cada parte dessa fórmula de um jeito bem tranquilo:
- ) é a proporção verdadeira na população (aqui )).
-
) é a proporção complementar (às vezes chamamos de
); aqui ). - ) é o tamanho da amostra.
- A razão
é a variância da proporção amostral e a raiz quadrada dela ( ) dá o desvio padrão.
Intuição: quanto maior, menor o valor dentro da raiz, logo menor o desvio padrão — ou seja a estimativa fica mais precisa.
Passo 3
Calculemos primeiro o produto
, que será usado em todos os casos:
Agora aplicamos a fórmula para
:
Calculando a raiz quadrada (mostro a aproximação):
Então para
o desvio padrão da proporção amostral é aproximadamente
).
Passo 4
Agora para
:
Raiz quadrada:
Logo para
obtemos aproximadamente
).
Passo 5
Para
:
Raiz quadrada:
Portanto para
obtemos aproximadamente
).
Passo 6
Para
:
Raiz quadrada:
Assim, para
o desvio padrão é aproximadamente
).
Passo 7
Interpretação e regra prática:
- Observe que
diminui quando aumenta. Matemáticamente, é proporcional a . Isso significa que para aumentar por um fator , o desvio padrão cai por um fator . - Exemplos rápidos: dobrar
(de 100 para 200) multiplica o desvio por ; de fato . Quadruplicar reduz o desvio pela metade. Aumentos grandes em continuam reduzindo o erro, mas com ganho de precisão cada vez menor (retornos decrescentes) porque a redução segue a raiz quadrada.
Resposta
Para
:
Para :
Para :
Para :
Para
Para
Para