4 Suponha que a proporção populacional seja 0,55 . Calcule o desvio padrão da proporção amostral para tamanhos de amostra de 100, 200, 500 e 1000. O que você pode dizer a respeito do tamanho do desvio padrão da proporção amostral à medida que o tamanho da amostra aumenta?

Passo 1

O enunciado diz que a proporção populacional é \(0,55) e pede para calcular o desvio padrão da proporção amostral (erro padrão) para tamanhos de amostra n=100, n=200, n=500 e n=1000. Além disso pede que comentemos o que acontece com esse desvio padrão quando o tamanho da amostra aumenta.
Informações dadas:
\text{proporção populacional } p = \(0,55\).
Tamanhos de amostra solicitados: n=100, n=200, n=500, n=1000.

Passo 2

Fórmula que usamos (essa é a peça central): o desvio padrão da proporção amostral \(\hat p) — também chamado erro padrão de \(\hat p) — é dado por
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Explicando cada parte dessa fórmula de um jeito bem tranquilo:
  • \(p) é a proporção verdadeira na população (aqui p=\(0,55)).
  • \(1-p) é a proporção complementar (às vezes chamamos de q); aqui 1-p=\(0,45).
  • \(n) é o tamanho da amostra.
  • A razão p(1-p)/n é a variância da proporção amostral e a raiz quadrada dela ( \sqrt{\cdot}) dá o desvio padrão.
    Intuição: quanto maior n, menor o valor dentro da raiz, logo menor o desvio padrão — ou seja a estimativa fica mais precisa.

Passo 3

Calculemos primeiro o produto p(1-p), que será usado em todos os casos:
p(1-p) = \(0,55\)\cdot\(0,45\) = \(0,2475\).
Agora aplicamos a fórmula para n=100:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0,2475}{100}} = \sqrt{0,002475}.
Calculando a raiz quadrada (mostro a aproximação):
\sqrt{0,002475} \approx \(0,04975\).
Então para n=100 o desvio padrão da proporção amostral é aproximadamente \(0,04975).

Passo 4

Agora para n=200:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0,2475}{200}} = \sqrt{0,0012375}.
Raiz quadrada:
\sqrt{0,0012375} \approx \(0,03518\).
Logo para n=200 obtemos aproximadamente \(0,03518).

Passo 5

Para n=500:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0,2475}{500}} = \sqrt{0,000495}.
Raiz quadrada:
\sqrt{0,000495} \approx \(0,02225\).
Portanto para n=500 obtemos aproximadamente \(0,02225).

Passo 6

Para n=1000:
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{0,2475}{1000}} = \sqrt{0,0002475}.
Raiz quadrada:
\sqrt{0,0002475} \approx \(0,01573\).
Assim, para n=1000 o desvio padrão é aproximadamente \(0,01573).

Passo 7

Interpretação e regra prática:
  • Observe que \sigma_{\hat p} diminui quando n aumenta. Matemáticamente, \sigma_{\hat p} é proporcional a 1/\sqrt{n}. Isso significa que para aumentar n por um fator k, o desvio padrão cai por um fator \sqrt{k}.
  • Exemplos rápidos: dobrar n (de 100 para 200) multiplica o desvio por 1/\sqrt{2}\approx0,707; de fato 0,04975\cdot0,707\approx0,03518. Quadruplicar n reduz o desvio pela metade. Aumentos grandes em n continuam reduzindo o erro, mas com ganho de precisão cada vez menor (retornos decrescentes) porque a redução segue a raiz quadrada.

Resposta

Para n=100: 0,04975
Para n=200: 0,03518
Para n=500: 0,02225
Para n=1000: 0,01573

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