A proporção populacional é de 0,30 . Qual é a probabilidade de que uma proporção amostral esteja dentro do intervalo de \pm 0,04 em torno da proporção populacional para cada um dos seguintes tamanhos de amostra?
a) n=100
b) n=200
c) n=500
d) n=1000
e) Qual é a vantagem de um tamanho amostral maior?

Passo 1

O enunciado dá a proporção populacional \;p=0{,}30\; e pede, para cada tamanho de amostra indicado, a probabilidade de que a proporção amostral \hat p esteja dentro de \pm 0{,}04 em torno de p. Ou seja, para cada n queremos calcular
P\big(|\hat p - p|\le 0{,}04\big).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
p=0{,}30,\qquad\text{margem } = 0{,}04,
e os tamanhos de amostra: \;n=100,\;200,\;500,\;1000.

Passo 2

Agora explico a ideia que usamos para resolver: quando tiramos uma amostra de tamanho n de uma população com proporção p, a proporção amostral \hat p (fração de sucessos na amostra) tem, aproximadamente, distribuição normal com média p e variância p(1-p)/n, sempre que n for suficientemente grande (regra prática: np\ge 5 e n(1-p)\ge 5). Essa aproximação vem do Teorema Central do Limite aplicado à soma de variáveis de Bernoulli. Em forma de fórmula:
\hat p \approx N\!\left(p,\; \frac{p(1-p)}{n}\right).
O desvio padrão (erro padrão) de \hat p é
\text{SE}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Para calcular a probabilidade pedida usamos a padronização: se Z é a normal padrão N(0,1), então
P\big(|\hat p-p|\le 0{,}04\big)=P\!\left(|Z|\le \frac{0{,}04}{\text{SE}}\right)=2\Phi\!\left(\frac{0{,}04}{\text{SE}}\right)-1,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Antes de aplicar, verificamos a condição np e n(1-p) para garantir validade da aproximação.

Passo 3

Vou calcular primeiro uma expressão útil em termos numéricos. Como p(1-p)=0{,}3\times0{,}7=0{,}21, temos para qualquer n:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0{,}21}{n}}.
E o valor crítico padronizado será
z=\frac{0{,}04}{\text{SE}}=\frac{0{,}04}{\sqrt{0{,}21/n}}=\frac{0{,}04\sqrt{n}}{\sqrt{0{,}21}}.
Agora aplico isso para cada n pedido, verificando np e n(1-p).

Passo 4

Verificação: \;np=100\times0{,}3=30\ge5 e \;n(1-p)=100\times0{,}7=70\ge5, então a aproximação normal é aceitável.
Calculemos o erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0{,}21}{100}}=\sqrt{0{,}0021}=0{,}0458257569\approx0{,}04583.
O valor padronizado é
z=\frac{0{,}04}{0{,}0458257569}\approx0{,}8732.
Usando a tabela (ou calculadora) da normal padrão, \Phi(0{,}8732)\approx0{,}8085. Então
P\big(|\hat p-p|\le 0{,}04\big)=2\Phi(0{,}8732)-1\approx2\times0{,}8085-1=0{,}6170\approx0{,}617.

Passo 5

Verificação: \;np=200\times0{,}3=60\ge5 e \;n(1-p)=200\times0{,}7=140\ge5.
Erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0{,}21}{200}}=\sqrt{0{,}00105}=0{,}0324036980\approx0{,}03240.
Valor padronizado:
z=\frac{0{,}04}{0{,}0324036980}\approx1{,}2345.
Da tabela, \Phi(1{,}2345)\approx0{,}8914. Logo
P\big(|\hat p-p|\le 0{,}04\big)=2\Phi(1{,}2345)-1\approx2\times0{,}8914-1=0{,}7828\approx0{,}783.

Passo 6

Verificação: \;np=500\times0{,}3=150\ge5 e \;n(1-p)=500\times0{,}7=350\ge5.
Erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0{,}21}{500}}=\sqrt{0{,}00042}=0{,}0204939015\approx0{,}02049.
Valor padronizado:
z=\frac{0{,}04}{0{,}0204939015}\approx1{,}9519.
Da tabela, \Phi(1{,}9519)\approx0{,}9746. Assim
P\big(|\hat p-p|\le 0{,}04\big)=2\Phi(1{,}9519)-1\approx2\times0{,}9746-1=0{,}9492\approx0{,}949.

Passo 7

Verificação: \;np=1000\times0{,}3=300\ge5 e \;n(1-p)=1000\times0{,}7=700\ge5.
Erro padrão:
\text{SE}=\sqrt{\frac{0{,}21}{1000}}=\sqrt{0{,}00021}=0{,}0144913767\approx0{,}01449.
Valor padronizado:
z=\frac{0{,}04}{0{,}0144913767}\approx2{,}7620.
Da tabela, \Phi(2{,}7620)\approx0{,}9971. Então
P\big(|\hat p-p|\le 0{,}04\big)=2\Phi(2{,}7620)-1\approx2\times0{,}9971-1=0{,}9942\approx0{,}994.

Passo 8

Explicando de forma direta e prática: quando n aumenta, o erro padrão \text{SE}=\sqrt{p(1-p)/n} diminui na razão de 1/\sqrt{n}. Isso faz com que o valor padronizado z=\dfrac{0{,}04}{\text{SE}} aumente, e por consequência a probabilidade P(|\hat p-p|\le 0{,}04) aumente — ou seja, a estimativa fica mais precisa e mais confiável. Em palavras: amostra maior = distribuição amostral mais concentrada em torno de p = maior chance de ficar dentro de \pm0{,}04.

Resposta

a) P(|\hat p-p|\le 0{,}04)\approx0{,}617\n
b) P(|\hat p-p|\le 0{,}04)\approx0{,}783\n
c) P(|\hat p-p|\le 0{,}04)\approx0{,}949\n
d) P(|\hat p-p|\le 0{,}04)\approx0{,}994\n
e) Maior amostra reduz o erro padrão \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} (proporcional a 1/\sqrt{n}), aumentando a probabilidade de que \hat p esteja dentro de \pm0{,}04 — isto é, estimativa mais precisa.

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