A proporção populacional é de 0,30 . Qual é a probabilidade de que uma proporção amostral esteja dentro do intervalo de
em torno da proporção populacional para cada um dos seguintes tamanhos de amostra?
a)
b)
c)
d)
e) Qual é a vantagem de um tamanho amostral maior?
a)
b)
c)
d)
e) Qual é a vantagem de um tamanho amostral maior?
Passo 1
O enunciado dá a proporção populacional
e pede, para cada tamanho de amostra indicado, a probabilidade de que a proporção amostral
esteja dentro de
em torno de
. Ou seja, para cada
queremos calcular
Dados relevantes extraídos do enunciado:
e os tamanhos de amostra:
Passo 2
Agora explico a ideia que usamos para resolver: quando tiramos uma amostra de tamanho
de uma população com proporção
, a proporção amostral
(fração de sucessos na amostra) tem, aproximadamente, distribuição normal com média
e variância
, sempre que
for suficientemente grande (regra prática:
e
). Essa aproximação vem do Teorema Central do Limite aplicado à soma de variáveis de Bernoulli. Em forma de fórmula:
O desvio padrão (erro padrão) de
é
Para calcular a probabilidade pedida usamos a padronização: se
é a normal padrão
, então
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Antes de aplicar, verificamos a condição
e
para garantir validade da aproximação.
Passo 3
Vou calcular primeiro uma expressão útil em termos numéricos. Como
, temos para qualquer
:
E o valor crítico padronizado será
Agora aplico isso para cada
pedido, verificando
e
.
Passo 4
Verificação:
e
, então a aproximação normal é aceitável.
Calculemos o erro padrão:
Calculemos o erro padrão:
O valor padronizado é
Usando a tabela (ou calculadora) da normal padrão,
. Então
Passo 5
Verificação:
e
.
Erro padrão:
Erro padrão:
Valor padronizado:
Da tabela,
. Logo
Passo 6
Verificação:
e
.
Erro padrão:
Erro padrão:
Valor padronizado:
Da tabela,
. Assim
Passo 7
Verificação:
e
.
Erro padrão:
Erro padrão:
Valor padronizado:
Da tabela,
. Então
Passo 8
Explicando de forma direta e prática: quando
aumenta, o erro padrão
diminui na razão de
. Isso faz com que o valor padronizado
aumente, e por consequência a probabilidade
aumente — ou seja, a estimativa fica mais precisa e mais confiável. Em palavras: amostra maior = distribuição amostral mais concentrada em torno de
= maior chance de ficar dentro de
.
Resposta
a)
\n
b) \n
c) \n
d) \n
e) Maior amostra reduz o erro padrão (proporcional a
), aumentando a probabilidade de que
esteja dentro de
— isto é, estimativa mais precisa.
b)
c)
d)
e) Maior amostra reduz o erro padrão