3.64 Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção transversal cheia, de 38 mm de diâmetro, quando ele transmite 75 hp a uma velocidade de (a) 750 rpm e (b) 1500 rpm .

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo claramente):
  • Diâmetro do eixo: d=38\\ \text{mm}.
  • Potência transmitida: P=75\\ \text{hp}.
  • Duas velocidades de rotação: (a) n=750\\ \text{rpm} e (b) n=1500\\ \text{rpm}.
    O que pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\text{max}} na seção transversal cheia do eixo para cada uma das velocidades.

Passo 2

Primeiro, converto tudo para unidades SI (para trabalhar com \mathrm{N\,m} e \mathrm{Pa}):
  • Converter o diâmetro para metros: d=38\\ \text{mm}=0,038\\ \mathrm{m}.
  • Converter potência de \mathrm{hp} para \mathrm{W}. Vou usar a conversão usual 1\\ \mathrm{hp}=746\\ \mathrm{W}. Então P=75\\ \mathrm{hp}=75\times746=55950\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Relação entre potência, torque e velocidade angular: a potência entregue por um eixo em rotação é
P=T\,\omega,
onde:
  • P é a potência em \mathrm{W},
  • T é o torque em \mathrm{N\,m},
  • \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
A velocidade angular \omega se obtém a partir de n (rpm) por
\omega=\frac{2\pi n}{60}.
Vou calcular \omega para os dois casos:
  • (a) para n=750\\ \mathrm{rpm}: \omega_{750}=\frac{2\pi\times750}{60}=2\pi\times12{,}5=25\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • (b) para n=1500\\ \mathrm{rpm}: \omega_{1500}=\frac{2\pi\times1500}{60}=2\pi\times25=50\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

A partir de T=\dfrac{P}{\omega} calculo o torque em cada caso.
  • (a) n=750\\ \mathrm{rpm}:
    T_{750}=\frac{P}{\omega_{750}}=\frac{55950}{25\pi} =\frac{2238}{\pi}\\ \mathrm{N\,m}\approx712{,}4\\ \mathrm{N\,m}.
  • (b) n=1500\\ \mathrm{rpm}:
    T_{1500}=\frac{P}{\omega_{1500}}=\frac{55950}{50\pi} =\frac{1119}{\pi}\\ \mathrm{N\,m}\approx356{,}2\\ \mathrm{N\,m}.
(Observação rápida: dobrar a velocidade reduz o torque pela metade, como visto.)

Passo 5

Fórmula da tensão de cisalhamento máxima devido à torção em um eixo circular maciço:
\tau_{\text{max}}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque,
  • c é o raio externo do eixo ( c=\tfrac{d}{2}),
  • J é o momento polar de inércia para seção circular maciça.
Para uma seção circular maciça de diâmetro d,
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c=d/2 em \tau_{\text{max}}=T c / J e simplificando obtemos a forma prática
\tau_{\text{max}}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicação das variáveis nesta fórmula final:
  • \tau_{\text{max}} em \mathrm{Pa} (ou \mathrm{MPa}),
  • T em \mathrm{N\,m},
  • d em \mathrm{m}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula numérica com d=0,038\\ \mathrm{m}. Primeiro calculo d^{3}:
d^{3}=(0,038)^{3}=0,000054872\\ \mathrm{m^{3}}.
Calculo \tau_{\text{max}} em cada caso com \tau_{\text{max}}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}.
  • (a) Para T_{750}\approx712{,}4\\ \mathrm{N\,m}:
    \tau_{\text{max},750}=\frac{16\times712{,}4}{\pi\times0,000054872} \approx66\,120\,000\\ \mathrm{Pa}=66{,}12\\ \mathrm{MPa}.
  • (b) Para T_{1500}\approx356{,}2\\ \mathrm{N\,m}:
    \tau_{\text{max},1500}=\frac{16\times356{,}2}{\pi\times0,000054872} \approx33\,060\,000\\ \mathrm{Pa}=33{,}06\\ \mathrm{MPa}.
(Observação: como T_{1500} é metade de T_{750}, a tensão também fica metade.)

Passo 7

Resumo e checagem rápida: unidades coerentes (torque em \mathrm{N\,m}, d em \mathrm{m} \tau em \mathrm{Pa}). Valores fazem sentido fisicamente para um eixo de 38\\ \mathrm{mm} transmitindo 75\\ \mathrm{hp}: em 750\\ \mathrm{rpm} a tensão é maior porque o torque é maior.

Resposta

\tau_{\text{max},\,750\\ \mathrm{rpm}}=66{,}12\\ \mathrm{MPa}
\tau_{\text{max},\,1500\\ \mathrm{rpm}}=33{,}06\\ \mathrm{MPa}

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