3.65 Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção transversal cheia, de 12 mm de diâmetro, quando ele transmite 2,5 \mathrm{~kW} a uma frequência de (a) 25 Hz e (b) 50 Hz .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dado: potência transmitida P = 2{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Dado: eixo de seção circular maciça com diâmetro d = 12\\ \mathrm{mm}.
  • Dado: duas frequências de rotação pedidas: (a) f=25\\ \mathrm{Hz} e (b) f=50\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedido: determinar a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} no eixo para cada frequência.
Observações de conversão e notação que vou usar:
  • Converterei P para \mathrm{W}: \;P = 2{,}5\\ \mathrm{kW} = 2500\\ \mathrm{W}.
  • Converterei d para metros: \;d = 12\\ \mathrm{mm} = 0{,}012\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Relação entre potência, torque e velocidade angular.
A potência transmitida por um eixo rotativo está relacionada ao torque T e à velocidade angular \omega pela fórmula
P = T\,\omega.
Aqui:
  • P é a potência (em \mathrm{W}),
  • T é o torque (em \mathrm{N\cdot m}),
  • \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).
Portanto, o torque é
T=\frac{P}{\omega}.

Passo 3

Relação entre frequência f (em \mathrm{Hz}) e velocidade angular \omega.
A velocidade angular em função da frequência é
\omega = 2\pi f.
Assim, para cada frequência avalio \omega e depois T.
Calculemos \omega e T para cada caso.

Passo 4

Cálculo numérico do torque para f=25\\ \mathrm{Hz}.
  • \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 25 = 50\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Então
T = \frac{P}{\omega} = \frac{2500}{50\pi} = \frac{50}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 15{,}9155\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Cálculo numérico do torque para f=50\\ \mathrm{Hz}.
  • \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50 = 100\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Então
T = \frac{P}{\omega} = \frac{2500}{100\pi} = \frac{25}{\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 7{,}9577\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário prático: ao dobrar a frequência a velocidade angular dobra, logo o torque necessário para a mesma potência cai pela metade — por isso T em (b) é metade de (a).

Passo 6

Fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço.
Para um eixo circular submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio máximo) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,\rho}{J},
onde:
  • \rho é o raio da seção ( \rho = d/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção.
Para uma seção circular maciça de diâmetro d,
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo \rho = d/2 em \tau_{\max} e o valor de J obtemos a forma prática:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{(\pi d^{4}/32)}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Essa fórmula conveniente \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}} é muito usada em problemas de torção de eixos circulares.

Passo 7

Aplicar a fórmula com os valores numéricos.
Primeiro calcule d^{3}:
d^{3}=(0{,}012)^{3}=1{,}728\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calcule agora \tau_{\max} para cada torque.
(a) Para f=25\\ \mathrm{Hz} com T\approx 15{,}9155\\ \mathrm{N\cdot m}:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}=\frac{16\cdot 15{,}9155}{\pi\cdot 1{,}728\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo as contas:
\tau_{\max}\approx 46{,}93\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=46{,}93\\ \mathrm{MPa}.
(b) Para f=50\\ \mathrm{Hz} com T\approx 7{,}9577\\ \mathrm{N\cdot m}:
\tau_{\max}=\frac{16\cdot 7{,}9577}{\pi\cdot 1{,}728\times 10^{-6}}\\ \mathrm{Pa}\approx 23{,}47\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=23{,}47\\ \mathrm{MPa}.
Observação rápida: como T em (b) é metade do de (a), a tensão em (b) também é metade da tensão em (a), o que confere com os números.

Passo 8

Resumo numérico final (arredondado de forma prática para a prova).
  • (a) \tau_{\max}\approx 46{,}9\\ \mathrm{MPa}.
  • (b) \tau_{\max}\approx 23{,}5\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

(a) \tau_{\max}\approx 46{,}9\\ \mathrm{MPa}
(b) \tau_{\max}\approx 23{,}5\\ \mathrm{MPa}

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