3.65 Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção transversal cheia, de 12 mm de diâmetro, quando ele transmite
a uma frequência de (a) 25 Hz e (b) 50 Hz .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dado: potência transmitida
. - Dado: eixo de seção circular maciça com diâmetro
. - Dado: duas frequências de rotação pedidas: (a)
e (b) . - Pedido: determinar a tensão de cisalhamento máxima
no eixo para cada frequência.
Observações de conversão e notação que vou usar:
- Converterei
para : - Converterei
para metros:
Passo 2
Relação entre potência, torque e velocidade angular.
A potência transmitida por um eixo rotativo está relacionada ao torque
e à velocidade angular
pela fórmula
Aqui:
-
é a potência (em ), -
é o torque (em ), -
é a velocidade angular (em ).
Portanto, o torque é
Passo 3
Relação entre frequência
(em
) e velocidade angular
.
A velocidade angular em função da frequência é
Assim, para cada frequência avalio
e depois
.
Calculemos
e
para cada caso.
Passo 4
Cálculo numérico do torque para
.
-
- Então
Passo 5
Cálculo numérico do torque para
.
-
- Então
Comentário prático: ao dobrar a frequência a velocidade angular dobra, logo o torque necessário para a mesma potência cai pela metade — por isso
em (b) é metade de (a).
Passo 6
Fórmula da tensão de cisalhamento máxima em um eixo circular maciço.
Para um eixo circular submetido a torque
, a tensão de cisalhamento máxima na superfície (raio máximo) é dada por
onde:
-
é o raio da seção ( ), -
é o momento polar de inércia da seção.
Para uma seção circular maciça de diâmetro
,
Substituindo
em
e o valor de
obtemos a forma prática:
Essa fórmula conveniente
é muito usada em problemas de torção de eixos circulares.
Passo 7
Aplicar a fórmula com os valores numéricos.
Primeiro calcule
:
Calcule agora
para cada torque.
(a) Para
com
:
Fazendo as contas:
(b) Para
com
:
Observação rápida: como
em (b) é metade do de (a), a tensão em (b) também é metade da tensão em (a), o que confere com os números.
Passo 8
Resumo numérico final (arredondado de forma prática para a prova).
- (a)
. - (b)
.
Resposta
(a)
(b)
(b)