3.66 Utilizando uma tensão de cisalhamento admissível de 31 MPa , projete um eixo de seção transversal cheia feito de aço para transmitir 12 hp na velocidade de (
) 1200 rpm e (
) 2400 rpm .
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que já temos (vou listar exatamente o que foi dado):
- Pedido: projetar um eixo maciço (seção transversal cheia, circular) de aço que suporte uma tensão de cisalhamento admissível de
e transmita potência de nas duas velocidades: - (a)
- (b)
- (a)
- Dados numéricos fornecidos:
- Potência:
. - Velocidades:
e . - Tensão de cisalhamento admissível:
.
- Potência:
- Resumo do objetivo prático: calcular o diâmetro
do eixo (em mm) que faz com que a tensão de cisalhamento máxima no eixo não supere para cada velocidade.
Passo 2
Converter a potência para unidades do SI para trabalhar com números familiares:
- Uma unidade prática:
. - Então
(Coloquei a potência em
porque a relação potência/velocidade angular fornece torque em
.)
Passo 3
Encontrar o torque transmissível
a partir de
e da rotação
. Fórmula básica usada:
onde
é a velocidade angular em
. E
Logo
Agora calculamos para cada caso.
Caso (a):
.
Caso (b):
.
(Observação prática: dobrando a rotação a potência constante dá metade do torque — por isso
.)
Passo 4
Apresentar a fórmula que liga torque, diâmetro e tensão de cisalhamento em um eixo maciço circular e explicar por que ela vale.
- Para um eixo circular maciço, a tensão de cisalhamento máxima na superfície, quando submetido a um torque
, é dada por
Explicação curta e interpretativa (sem derivar integralmente): essa expressão vem da fórmula geral de torção
, onde
é o raio e
é o momento polar de inércia da seção. Para seção circular maciça
e
. Substituindo obtém-se a fórmula acima. Nas expressões:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (unidade ou MPa), -
é o torque (unidade ou ), -
é o diâmetro do eixo (unidade ou ).
Queremos que
. Igualando para projeto (caso limite) temos
Isolando
:
Passo 5
Escolher um sistema consistente de unidades e preparar os números para substituição. Vou usar
e
porque
e fica prático:
- Converter
de para multiplicando por . - Assim:
- Para (a):
- Para (b):
- Para (a):
- E
.
Passo 6
Calcular o diâmetro para o caso (a) substituindo na fórmula
Substituindo
e
:
Calculando numericamente (usando números arredondados de forma que você consiga reconstituir à mão):
Agora a raiz cúbica:
(Verificação mental:
, então o valor faz sentido.)
Passo 7
Calcular o diâmetro para o caso (b) pela mesma fórmula. Com
:
Tomando a raiz cúbica:
(Verificação:
, bem próximo do valor calculado.)
Passo 8
Conclusões práticas e observações finais (curtas e úteis):
- Os diâmetros calculados são os diâmetros teóricos de projeto que fazem a tensão de cisalhamento atingir exatamente o valor admissível. Em projeto real costuma-se escolher um diâmetro comercial padrão um pouco maior (por segurança, folga de usinagem, ajustes, concentrações de tensão, etc.). Por exemplo: para (a) pode-se adotar
e para (b) , dependendo da prática da fábrica e fatores de segurança adicionais. - Aqui considerei apenas a verificação por tensão de cisalhamento (torção). Em projeto completo também se verifica flambagem, resistência à fadiga, chavetas, punções, restrições geométricas e fatores de concentração de tensão se houver mudanças de seção.
Resposta
(a)
(b)
(b)