3.66 Utilizando uma tensão de cisalhamento admissível de 31 MPa , projete um eixo de seção transversal cheia feito de aço para transmitir 12 hp na velocidade de ( a ) 1200 rpm e ( b ) 2400 rpm .

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que já temos (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Pedido: projetar um eixo maciço (seção transversal cheia, circular) de aço que suporte uma tensão de cisalhamento admissível de \,31\\ \text{MPa}\, e transmita potência de 12\\ \text{hp} nas duas velocidades:
    • (a) 1200\\ \text{rpm}
    • (b) 2400\\ \text{rpm}
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Potência: P=12\\ \text{hp}.
    • Velocidades: n_1=1200\\ \text{rpm} e n_2=2400\\ \text{rpm}.
    • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=31\\ \text{MPa}=31\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Resumo do objetivo prático: calcular o diâmetro d do eixo (em mm) que faz com que a tensão de cisalhamento máxima no eixo não supere \tau_{\text{adm}} para cada velocidade.

Passo 2

Converter a potência para unidades do SI para trabalhar com números familiares:
  • Uma unidade prática: 1\\ \text{hp}=746\\ \text{W}.
  • Então
P = 12\\ \text{hp} = 12\times 746\\ \text{W} = 8952\\ \text{W}.
(Coloquei a potência em \text{W} porque a relação potência/velocidade angular fornece torque em \text{N}\cdot\text{m}.)

Passo 3

Encontrar o torque transmissível T a partir de P e da rotação n. Fórmula básica usada:
P = T\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular em \text{rad/s}. E
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
Logo
T = \frac{P}{\omega} = \frac{P}{2\pi n/60} = \frac{60P}{2\pi n} = \frac{30P}{\pi n}.
Agora calculamos para cada caso.
Caso (a): n_1=1200\\ \text{rpm}.
\omega_1 = 2\pi\frac{1200}{60} = 40\pi\\ \text{rad/s}.
T_1 = \frac{P}{\omega_1} = \frac{8952}{40\pi} \\ \text{N}\cdot\text{m} = 71{,}25\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Caso (b): n_2=2400\\ \text{rpm}.
\omega_2 = 2\pi\frac{2400}{60} = 80\pi\\ \text{rad/s}.
T_2 = \frac{P}{\omega_2} = \frac{8952}{80\pi} \\ \text{N}\cdot\text{m} = 35{,}625\\ \text{N}\cdot\text{m}.
(Observação prática: dobrando a rotação a potência constante dá metade do torque — por isso T_2=T_1/2.)

Passo 4

Apresentar a fórmula que liga torque, diâmetro e tensão de cisalhamento em um eixo maciço circular e explicar por que ela vale.
  • Para um eixo circular maciço, a tensão de cisalhamento máxima na superfície, quando submetido a um torque T, é dada por
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi\,d^{3}}.
Explicação curta e interpretativa (sem derivar integralmente): essa expressão vem da fórmula geral de torção \tau = \dfrac{T r}{J}, onde r é o raio e J é o momento polar de inércia da seção. Para seção circular maciça J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} e r=\dfrac{d}{2}. Substituindo obtém-se a fórmula acima. Nas expressões:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (unidade \text{N}/\text{mm}^2 ou MPa),
  • T é o torque (unidade \text{N}\cdot\text{mm} ou \text{N}\cdot\text{m}),
  • d é o diâmetro do eixo (unidade \text{mm} ou \text{m}).
Queremos que \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}}. Igualando para projeto (caso limite) temos
\tau_{\text{adm}}=\frac{16\,T}{\pi\,d^{3}}.
Isolando d:
d^{3}=\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\quad\Rightarrow\quad d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.

Passo 5

Escolher um sistema consistente de unidades e preparar os números para substituição. Vou usar \text{N},\\ \text{mm} e \text{N}/\text{mm}^2 porque \tau_{\text{adm}}=31\\ \text{MPa}=31\\ \text{N}/\text{mm}^2 e fica prático:
  • Converter T de \text{N}\cdot\text{m} para \text{N}\cdot\text{mm} multiplicando por 1000.
  • Assim:
    • Para (a): T_1=71{,}25\\ \text{N}\cdot\text{m}=71{,}250\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
    • Para (b): T_2=35{,}625\\ \text{N}\cdot\text{m}=35{,}625\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • E \tau_{\text{adm}}=31\\ \text{N}/\text{mm}^2.

Passo 6

Calcular o diâmetro para o caso (a) substituindo na fórmula
d=\left(\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\right)^{1/3}.
Substituindo T_1=71{,}250\\ \text{N}\cdot\text{mm} e \tau_{\text{adm}}=31\\ \text{N}/\text{mm}^2:
\frac{16\,T_1}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}=\frac{16\times 71250}{\pi\times 31} = \frac{1{,}140{,}000}{97{,}389{,}372/1000}\\ \text{(valores em mm}^3\text{)}.
Calculando numericamente (usando números arredondados de forma que você consiga reconstituir à mão):
\frac{16\,T_1}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}\approx 11{,}706{,}9\\ \text{mm}^3.
Agora a raiz cúbica:
d_1 \approx \sqrt[3]{11{,}706{,}9}\\ \text{mm}\approx 22{,}7\\ \text{mm}.
(Verificação mental: 22{,}7^3\approx 11{,}700, então o valor faz sentido.)

Passo 7

Calcular o diâmetro para o caso (b) pela mesma fórmula. Com T_2=35{,}625\\ \text{N}\cdot\text{mm}:
\frac{16\,T_2}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}=\frac{16\times 35625}{\pi\times 31} \approx 5{,}853{,}45\\ \text{mm}^3.
Tomando a raiz cúbica:
d_2 \approx \sqrt[3]{5{,}853{,}45}\\ \text{mm}\approx 18{,}0\\ \text{mm}.
(Verificação: 18{,}0^3=5832, bem próximo do valor calculado.)

Passo 8

Conclusões práticas e observações finais (curtas e úteis):
  • Os diâmetros calculados são os diâmetros teóricos de projeto que fazem a tensão de cisalhamento atingir exatamente o valor admissível. Em projeto real costuma-se escolher um diâmetro comercial padrão um pouco maior (por segurança, folga de usinagem, ajustes, concentrações de tensão, etc.). Por exemplo: para (a) pode-se adotar d=25\\ \text{mm} e para (b) d=20\\ \text{mm}, dependendo da prática da fábrica e fatores de segurança adicionais.
  • Aqui considerei apenas a verificação por tensão de cisalhamento (torção). Em projeto completo também se verifica flambagem, resistência à fadiga, chavetas, punções, restrições geométricas e fatores de concentração de tensão se houver mudanças de seção.

Resposta

(a) d\approx 22{,}7\\ \mathrm{mm}
(b) d\approx 18{,}0\\ \mathrm{mm}

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