1.64 Verifique que os vetores a=1raiz6(i-2 j+k), b=1raiz2(i-k) e c=1raiz3(i+j+k) são ortonormais e determine as coordenadas do vetor v=3 i+2 j+2 k na base a, b, c.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores
a=1raiz6(i-2j+k),
b=1raiz2(i-k) e
c=1raiz3(i+j+k),
pede para verificar que eles são ortonormais (isto é, unitários e mutuamente perpendiculares) e, em seguida, expressar o vetor
v=3i+2j+2k
na base ortonormal a,b,c.
Para isso vamos usar produto escalar para checar normas e ângulos e, em ortonormalidade, usar a propriedade de que as coordenadas de v na base são lang<= a,vrang<=,lang<= b,vrang<=,lang<= c,vrang<=.

Passo 2

Verificamos que cada vetor tem norma 1 calculando |u|=raizucdotu:
acdota =16l(1^2+(-2)^2+1^2r) =1+4+16=1 Longrightarrow |a|=1,
bcdotb =12l(1^2+0^2+(-1)^2r) =1+0+12=1 Longrightarrow |b|=1,
ccdotc =13l(1^2+1^2+1^2r) =1+1+13=1 Longrightarrow |c|=1

Passo 3

Verificamos a ortogonalidade calculando os produtos escalares cruzados:
acdotb =1raiz6,raiz2l(1cdot1+(-2)cdot0+1cdot(-1)r) =1-1raiz12=0,
acdotc =1raiz6,raiz3l(1cdot1+(-2)cdot1+1cdot1r) =1-2+1raiz18=0,
bcdotc =1raiz2,raiz3l(1cdot1+0cdot1+(-1)cdot1r) =1-1raiz6=0
Como as normas são 1 e todos os produtos escalares são zero, a,b,c é de fato uma base ortonormal.

Passo 4

Em base ortonormal, as coordenadas de v são dadas por
alpha=acdotv,;beta=bcdotv,;gamma=ccdotv.
Calculamos:
alpha=acdotv =1raiz6(1cdot3+(-2)cdot2+1cdot2) =3-4+2raiz6 =1raiz6,
beta=bcdotv =1raiz2(1cdot3+0cdot2+(-1)cdot2) =3-2raiz2 =1raiz2,
gamma=ccdotv =1raiz3(1cdot3+1cdot2+1cdot2) =3+2+2raiz3 =7raiz3
Assim
v=alpha,a+beta,b+gamma,c.

Resposta

As coordenadas de v na base a,b,c são
l(tfrac1raiz6,;tfrac1raiz2,;tfrac7raiz3r)

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