1.65 Sejam e . O conjunto é uma base do espaço ? Essa base é ortonormal? Ela é ortogonal? É possível escrever o vetor como combinação linear de e ?
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores , e ,
e pede para verificar se é base de , se essa base é ortogonal ou ortonormal, e por fim expressar o vetor como combinação linear de e . Vamos usar conceitos de independência linear (determinante), produto escalar (ortogonalidade) e resolução de sistema linear.
Passo 2
Para testar se é independente, escrevemos as coordenadas em relação à base canônica:
Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas e calculamos o determinante:
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e, tendo três vetores em R^3, formam base.
Passo 3
Para checar ortogonalidade, calculamos produtos escalares:
u!cdot!v=(0,1,1)cdot(2,1,0)=0+1+0=1neq0,
logo não são ortogonais (e portanto também não ortonormais). Mesmo se fossem ortogonais, seus comprimentos seriam |u|=raiz2, |v|=raiz5, |w|=raiz2,
nenhum igual a 1, então não são ortonormais.
Passo 4
Para escrever 3i+2j+2k=(3,2,2) como au+bv+cw, montamos o sistema