1.65 Sejam u=j+k, v=2 i+j e w=i+k. O conjunto u, v, w é uma base do espaço R^3 ? Essa base é ortonormal? Ela é ortogonal? É possível escrever o vetor 3 i+2 j+2 k como combinação linear de u, v e w ?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=j+k,
v=2i+j e
w=i+k,
e pede para verificar se u,v,w é base de R^3, se essa base é ortogonal ou ortonormal, e por fim expressar o vetor 3i+2j+2k como combinação linear de u,v e w. Vamos usar conceitos de independência linear (determinante), produto escalar (ortogonalidade) e resolução de sistema linear.

Passo 2

Para testar se u,v,w é independente, escrevemos as coordenadas em relação à base canônica:
u=(0,1,1), v=(2,1,0), w=(1,0,1)
Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas e calculamos o determinante:
det 0 & 2 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 =0cdot(1cdot1-0cdot0)-2cdot(1cdot1-0cdot1)+1cdot(1cdot0-1cdot1) =-2-1=-3neq0
Como o determinante é não nulo, os vetores são linearmente independentes e, tendo três vetores em R^3, formam base.

Passo 3

Para checar ortogonalidade, calculamos produtos escalares:
u!cdot!v=(0,1,1)cdot(2,1,0)=0+1+0=1neq0,
logo não são ortogonais (e portanto também não ortonormais). Mesmo se fossem ortogonais, seus comprimentos seriam
|u|=raiz2, |v|=raiz5, |w|=raiz2,
nenhum igual a 1, então não são ortonormais.

Passo 4

Para escrever 3i+2j+2k=(3,2,2) como au+bv+cw, montamos o sistema
a(0,1,1)+b(2,1,0)+c(1,0,1)=(2b+c,;a+b,;a+c)=(3,2,2)
Isso dá as equações
2b+c=3, a+b=2, a+c=2
Da segunda a=2-b. Substituindo na terceira 2-b+c=2Rightarrow c=b. Então da primeira 2b+b=3Rightarrow b=1, c=1 e a=2-1=1. Logo
3i+2j+2k=1cdotu+1cdotv+1cdotw

Resposta

u,v,w é base de R^3.
Não é ortogonal.
Não é ortonormal.
E
3i+2j+2k =u+v+w

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