• 65 Uma bolsa a 2,00 \mathrm{~m} do centro e uma carteira a 3,00 \mathrm{~m} do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Os dois objetos estão na mesma linha radial. Em um dado instante, a aceleração da bolsa é \left(2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{i}}+\left(4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\mathrm{j}}. Qual é a aceleração da carteira nesse instante, na notacão dos vetores unitários?

Passo 1

O enunciado diz que uma bolsa, a r_1=2{,}00 m do centro, e uma carteira, a r_2=3{,}00 m do centro, giram com movimento circular uniforme. A aceleração da bolsa é
\mathbf{a}_1 = 2{,}00\,\hat{\mathrm{i}} + 4{,}00\,\hat{\mathrm{j}}\quad(\mathrm{m/s^2}).
Queremos encontrar a aceleração \mathbf{a}_2 da carteira.

Passo 2

Em movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta é
\mathbf{a} = -\omega^2\,\mathbf{r},
onde \omega é a velocidade angular (a mesma para ambos os objetos) e \mathbf{r} é o vetor posição. Como bolsa e carteira estão na mesma linha radial, \mathbf{a}_2 é paralelo a \mathbf{a}_1.

Passo 3

Tomando magnitudes, tem–se
\frac{\|\mathbf{a}_2\|}{\|\mathbf{a}_1\|} \;=\;\frac{r_2}{r_1}.
Logo, em forma vetorial,
\mathbf{a}_2 = \frac{r_2}{r_1}\,\mathbf{a}_1.

Passo 4

Substituindo r_2/r_1 = 3{,}00/2{,}00 = 3/2 e \mathbf{a}_1 = 2{,}00\,\hat{\mathrm{i}} + 4{,}00\,\hat{\mathrm{j}}, vem
\mathbf{a}_2 = \frac{3}{2}\bigl(2{,}00\,\hat{\mathrm{i}} + 4{,}00\,\hat{\mathrm{j}}\bigr) = 3{,}00\,\hat{\mathrm{i}} + 6{,}00\,\hat{\mathrm{j}}\quad(\mathrm{m/s^2}).

Resposta

\mathbf{a}_2 = 3{,}00\,\mathrm{m/s^2}\,\hat{\mathrm{i}} + 6{,}00\,\mathrm{m/s^2}\,\hat{\mathrm{j}}

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