-•9 Em uma corrida de 1 km , o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 \mathrm{~min} 27,95 \mathrm{~s} ) parece ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2(2 \min 28,15 \mathrm{~s}). Entretanto, o comprimento L_{2} da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L_{1} da raia 1 . Qual é o maior valor da diferença L_{2}-L_{1} para o qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira?
-10 Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro deve percorrer a distância, primeiro em um sentido (em um tempo t_{1} ) e depois no sentido oposto (em um tempo t_{2} ). (a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade v_{c} que o carro atingiria na ausência de vento, devemos calcular a média aritmética de d / t_{1} e d / t_{2} (método 1 ) ou devemos dividir d pela média aritmética de t_{1} e t_{2} (método 2)? (b) Qual é a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista, e a razão entre a velocidade v_{v} do vento e a velocidade v_{c} do carro é 0,0240 ?

Passo 1

Temos dois problemas.
Problema 9 (cinemática básica): comparamos dois corredores que percorrem nominalmente 1\\ \text{km} nas pistas 1 e 2. O corredor 1 faz tempo 2\min27,95\\ \text{s} e o corredor 2 faz 2\min28,15\\ \text{s}. Como a pista 2 pode ser um pouco mais longa L_2>L_1, queremos achar o maior valor de \Delta L=L_2-L_1 tal que ainda seja verdade que a velocidade média do corredor 1 é maior que a do corredor 2. Vamos usar v=L/t.
Problema 10 (média de velocidades com vento): um carro percorre distância d num sentido em tempo t_1 e volta no sentido oposto em tempo t_2, sofrendo vento de velocidade v_v.
(a) Qual método recupera a velocidade real v_c do carro sem vento: média aritmética das velocidades \bigl(d/t_1+d/t_2\bigr)/2 (método 1) ou dividir d pela média dos tempos d/((t_1+t_2)/2) (método 2)?
(b) Qual a diferença percentual entre esses dois métodos quando v_v/v_c=0{,}0240? Vamos modelar t_1=d/(v_c+v_v) e t_2=d/(v_c-v_v).

Passo 2

(Problema 9) Convertemos os tempos para segundos e definimos velocidades:
t_1=2\times60+27{,}95=147{,}95\\ \text{s},\qquad t_2=2\times60+28{,}15=148{,}15\\ \text{s}.
As velocidades médias são
v_1=\frac{L_1}{t_1},\qquad v_2=\frac{L_2}{t_2}=\frac{L_1+\Delta L}{t_2}.

Passo 3

Impondo v_1>v_2 resulta em
\frac{L_1}{t_1}>\frac{L_1+\Delta L}{t_2} \;\Longrightarrow\; L_1+\Delta L<\frac{L_1\,t_2}{t_1} \;\Longrightarrow\; \Delta L< L_1\Bigl(\frac{t_2}{t_1}-1\Bigr).

Passo 4

Como L_1=1000\\ \text{m}, temos
\Delta L<1000\Bigl(\frac{148{,}15}{147{,}95}-1\Bigr) =1000\frac{0{,}20}{147{,}95}\approx1{,}351\\ \text{m}.

Passo 5

Portanto, o maior valor de L_2-L_1 que ainda garante v_1>v_2 é aproximadamente
\boxed{1{,}35\\ \text{m}}.

Passo 6

(Problema 10a) Usando t_1=\frac{d}{v_c+v_v} e t_2=\frac{d}{v_c-v_v}, obtemos
\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2} =\frac{v_c+v_v}{d}+\frac{v_c-v_v}{d} =\frac{2\,v_c}{d} \;\Longrightarrow\; v_c =\frac{d}{2}\Bigl(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}\Bigr) =\frac{d/t_1+d/t_2}{2}.
Logo, o método correto é a média aritmética das velocidades, i.e., método 1.

Passo 7

(Problema 10b) Definimos
v_1=\frac{d/t_1+d/t_2}{2},\qquad v_2=\frac{d}{(t_1+t_2)/2}.
Mostra-se que
\frac{v_2}{v_1} =\frac{4\,t_1\,t_2}{(t_1+t_2)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_1-v_2}{v_1} =1-\frac{4\,t_1\,t_2}{(t_1+t_2)^2} =\frac{(t_1-t_2)^2}{(t_1+t_2)^2}.
Usando
t_1-t_2 =d\Bigl(\frac1{v_c-v_v}-\frac1{v_c+v_v}\Bigr) =\frac{2d\,v_v}{v_c^2-v_v^2}, \quad t_1+t_2 =\frac{2d\,v_c}{v_c^2-v_v^2},
obtemos
\frac{t_1-t_2}{t_1+t_2}=\frac{v_v}{v_c},
logo a diferença percentual é
\biggl(\frac{v_1-v_2}{v_1}\biggr)\times100\% =\Bigl(\frac{v_v}{v_c}\Bigr)^{2}\times100\% =(0{,}0240)^{2}\times100\% =0{,}0576\%.

Resposta

Problema 9: L_2-L_1<1,35\\ \text{m}.
Problema 10a: usar a média aritmética das velocidades (método 1).
Problema 10b: diferença percentual de 0,0576\%.

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