2-69 The specific gravities of solids and carrier fluids of a slurry are usually known, but the specific gravity of the slurry depends on the concentration of the solid particles. Show that the specific gravity of a water-based slurry can be expressed in terms of the specific gravity of the solid
and the mass concentration of the suspended solid particles
as
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a gravidade específica de uma lama (slurry) à base de água pode ser escrita em função da gravidade específica dos sólidos suspensos e da concentração em massa desses sólidos. Pergunta explícita: escrever
em termos de
e
.
Informações relevantes dadas e convenções que vamos usar (tudo extraído do enunciado):
- A lama é à base de água, logo o fluido portador é água. Para a água tomamos a gravidade específica igual a
. -
é a gravidade específica dos sólidos (relação da densidade dos sólidos com a da água). -
é a concentração em massa dos sólidos na lama, isto é, a fração da massa da mistura que corresponde aos sólidos:
- Objetivo: obter uma fórmula para
, a gravidade específica da mistura (lama), em função de e .
Passo 2
Definições úteis e escolhas para simplificar a conta (tudo explicado passo a passo):
- Definição de gravidade específica: a gravidade específica de qualquer material é a razão entre sua densidade e a densidade da água. Se
é densidade do material e é a densidade da água, então
Expliquei: aqui
tem unidades de massa por volume (por exemplo,
), e
é a densidade da água na mesma unidade. Como a lama é à base de água, a densidade do fluido é
e sua gravidade específica é
.
- Para trabalhar com frações em massa é muito prático escolher uma “base” de massa da mistura. Vou escolher 1 kg de lama (poderia ser 1 g, 100 kg, o resultado não muda). Assim:
Então
Expliquei: escolher 1 kg é só para deixar os números simples; o resultado final será independente dessa escolha.
Passo 3
Converter massas em volumes usando densidades (a ideia chave para encontrar a densidade da mistura):
- Densidade dos sólidos
relacionada à gravidade específica :
Expliquei: pela definição de gravidade específica.
-
Densidade do fluido (água) é
, e sua gravidade específica é . -
Volumes correspondentes (volume = massa / densidade). Para a nossa base de 1 kg:
Expliquei: essas fórmulas vêm diretamente de
.
Passo 4
Determinar o volume total da mistura e a densidade da mistura:
- Soma dos volumes:
Coloco em evidência
:
Reorganizo o termo dentro do parêntese para ficar mais claro:
Expliquei: fiz uma factorização simples para deixar a expressão mais compacta.
- Densidade da mistura
é a massa total dividida pelo volume total. Como escolhemos massa total ,
Substituindo
:
Multiplicando numerador e denominador por
(ou reconhecendo que
convenientemente simplifica), obtemos uma forma para a gravidade específica da mistura.
Passo 5
Calcular finalmente a gravidade específica da mistura
e simplificar:
- Pela definição,
Substituindo
da expressão anterior:
Expliquei: essa expressão já está em termos apenas de
e
, como pedido. A interpretação física é direta: quando
(sem sólidos) obtemos
(só água). Quando
aumenta (sólidos mais densos), o denominador diminui e
aumenta, como esperado.