2-69 The specific gravities of solids and carrier fluids of a slurry are usually known, but the specific gravity of the slurry depends on the concentration of the solid particles. Show that the specific gravity of a water-based slurry can be expressed in terms of the specific gravity of the solid \mathrm{SG}_{s} and the mass concentration of the suspended solid particles C_{s \text {, mass }} as
\mathrm{SG}_{m}=\frac{1}{1+C_{s, \mathrm{mass}}\left(1 / \mathrm{SG}_{s}-1\right)}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a gravidade específica de uma lama (slurry) à base de água pode ser escrita em função da gravidade específica dos sólidos suspensos e da concentração em massa desses sólidos. Pergunta explícita: escrever \mathrm{SG}_{m} em termos de \mathrm{SG}_{s} e C_{s,\mathrm{mass}}.
Informações relevantes dadas e convenções que vamos usar (tudo extraído do enunciado):
  • A lama é à base de água, logo o fluido portador é água. Para a água tomamos a gravidade específica igual a 1.
  • \mathrm{SG}_{s} é a gravidade específica dos sólidos (relação da densidade dos sólidos com a da água).
  • C_{s,\mathrm{mass}} é a concentração em massa dos sólidos na lama, isto é, a fração da massa da mistura que corresponde aos sólidos:
C_{s,\mathrm{mass}}=\frac{\text{massa de sólidos}}{\text{massa total da lama}}.ó
  • Objetivo: obter uma fórmula para \mathrm{SG}_{m}, a gravidade específica da mistura (lama), em função de \mathrm{SG}_{s} e C_{s,\mathrm{mass}}.

Passo 2

Definições úteis e escolhas para simplificar a conta (tudo explicado passo a passo):
  • Definição de gravidade específica: a gravidade específica de qualquer material é a razão entre sua densidade e a densidade da água. Se \rho é densidade do material e \rho_w é a densidade da água, então
\mathrm{SG}=\frac{\rho}{\rho_w}.
Expliquei: aqui \rho tem unidades de massa por volume (por exemplo, \mathrm{kg/m^3}), e \rho_w é a densidade da água na mesma unidade. Como a lama é à base de água, a densidade do fluido é \rho_w e sua gravidade específica é 1.
  • Para trabalhar com frações em massa é muito prático escolher uma “base” de massa da mistura. Vou escolher 1 kg de lama (poderia ser 1 g, 100 kg, o resultado não muda). Assim:
\text{massa total da lama} = 1\\ \text{kg}.
Então
\text{massa de sólidos} = C_{s,\mathrm{mass}}\cdot 1 = C_{s,\mathrm{mass}}\\ \text{kg},ó
\text{massa de água (fluido)} = 1 - C_{s,\mathrm{mass}}\\ \text{kg}.á
Expliquei: escolher 1 kg é só para deixar os números simples; o resultado final será independente dessa escolha.

Passo 3

Converter massas em volumes usando densidades (a ideia chave para encontrar a densidade da mistura):
  • Densidade dos sólidos \rho_s relacionada à gravidade específica \mathrm{SG}_{s}:
\rho_s = \mathrm{SG}_{s}\,\rho_w.
Expliquei: pela definição de gravidade específica.
  • Densidade do fluido (água) é \rho_w, e sua gravidade específica é 1.
  • Volumes correspondentes (volume = massa / densidade). Para a nossa base de 1 kg:
\text{volume ocupado pelos sólidos} = \frac{C_{s,\mathrm{mass}}}{\rho_s} = \frac{C_{s,\mathrm{mass}}}{\mathrm{SG}_{s}\,\rho_w}.ó
\text{volume ocupado pela água} = \frac{1 - C_{s,\mathrm{mass}}}{\rho_w}.á
Expliquei: essas fórmulas vêm diretamente de V = m/\rho.

Passo 4

Determinar o volume total da mistura e a densidade da mistura:
  • Soma dos volumes:
V_{\text{total}}=\frac{C_{s,\mathrm{mass}}}{\mathrm{SG}_{s}\,\rho_w}+\frac{1-C_{s,\mathrm{mass}}}{\rho_w}.
Coloco em evidência 1/\rho_w:
V_{\text{total}}=\frac{1}{\rho_w}\left(\frac{C_{s,\mathrm{mass}}}{\mathrm{SG}_{s}}+1-C_{s,\mathrm{mass}}\right).
Reorganizo o termo dentro do parêntese para ficar mais claro:
\frac{C_{s,\mathrm{mass}}}{\mathrm{SG}_{s}}+1-C_{s,\mathrm{mass}}=1+C_{s,\mathrm{mass}}\left(\frac{1}{\mathrm{SG}_{s}}-1\right).
Expliquei: fiz uma factorização simples para deixar a expressão mais compacta.
  • Densidade da mistura \rho_m é a massa total dividida pelo volume total. Como escolhemos massa total =1\\ \text{kg},
\rho_m = \frac{1}{V_{\text{total}}}.
Substituindo V_{\text{total}}:
\rho_m=\frac{1}{\dfrac{1}{\rho_w}\left[1+C_{s,\mathrm{mass}}\left(\dfrac{1}{\mathrm{SG}_{s}}-1\right)\right]}.
Multiplicando numerador e denominador por \rho_w (ou reconhecendo que \rho_m/\rho_w convenientemente simplifica), obtemos uma forma para a gravidade específica da mistura.

Passo 5

Calcular finalmente a gravidade específica da mistura \mathrm{SG}_{m} e simplificar:
  • Pela definição,
\mathrm{SG}_{m}=\frac{\rho_m}{\rho_w}.
Substituindo \rho_m da expressão anterior:
\mathrm{SG}_{m}=\frac{1}{1+C_{s,\mathrm{mass}}\left(\dfrac{1}{\mathrm{SG}_{s}}-1\right)}.
Expliquei: essa expressão já está em termos apenas de \mathrm{SG}_{s} e C_{s,\mathrm{mass}}, como pedido. A interpretação física é direta: quando C_{s,\mathrm{mass}}=0 (sem sólidos) obtemos \mathrm{SG}_{m}=1 (só água). Quando \mathrm{SG}_{s} aumenta (sólidos mais densos), o denominador diminui e \mathrm{SG}_{m} aumenta, como esperado.

Resposta

\mathrm{SG}_{m}=\frac{1}{1+C_{s,\mathrm{mass}}\left(1/\mathrm{SG}_{s}-1\right)}

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