3.67 Utilizando um valor de tensāo de cisalhamento admissível igual a 50 MPa , projete um eixo de seção transversal cheia, feito de aço, para transmitir 1 5 kW à frequência de (a) 30 Hz e (b) 60 Hz .

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potência a ser transmitida: P=15{,}0\\ \text{kW}=15000\\ \text{W}.
    • Frequências (velocidades de rotação) pedidas:
      • (a) f=30\\ \text{Hz} (isto é, 30 rotações por segundo).
      • (b) f=60\\ \text{Hz}.
    • Tensão de cisalhamento admissível do material (aço): \tau_{\text{adm}}=50\\ \text{MPa}=50\times10^{6}\\ \text{Pa}.
    • O eixo é de seção transversal cheia (eixo maciço, circular).
  • O que o enunciado pede:
    • Projetar (determinar) o diâmetro mínimo do eixo maciço tal que a tensão de cisalhamento devido ao torque de transmissão não exceda \tau_{\text{adm}}, para cada uma das frequências (a) e (b).

Passo 2

Entender a relação potência ↔ torque ↔ velocidade angular e calcular o torque transmissível a partir da potência.
  • Relação física usada: a potência transmitida por um eixo em rotação é o produto do torque T pela velocidade angular \omega:
P = T\omega.
Aqui:
  • P é potência em watts ( \text{W});
  • T é torque em newton-metro ( \text{N}\cdot\text{m});
  • \omega é velocidade angular em rad/s.
  • A velocidade angular \omega relaciona-se com a frequência f (em Hz = rotações por segundo) por
\omega = 2\pi f.
  • Logo, o torque é
T=\frac{P}{\omega}=\frac{P}{2\pi f}.
  • Calcular os torques para os dois casos:
(a) Para f=30\\ \text{Hz}:
\omega_{a}=2\pi\cdot30=60\pi\\ \text{rad/s},
T_{a}=\frac{15000}{60\pi}=\frac{15000}{188{,}495559\ldots}\approx 79{,}577\\ \text{N}\cdot\text{m}.
(b) Para f=60\\ \text{Hz}:
\omega_{b}=2\pi\cdot60=120\pi\\ \text{rad/s},
T_{b}=\frac{15000}{120\pi}=\frac{15000}{376{,}991118\ldots}\approx 39{,}788\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Comentários amigáveis: o torque cai pela metade quando a velocidade dobra, o que é intuitivo porque a mesma potência a maior velocidade exige menos torque.

Passo 3

Entender a fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular sólido submetido a torque e obter a relação que liga T, \tau_{\max} e o diâmetro d.
  • Para um eixo circular maciço, o momento de inércia polar (segundo polar) J é
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro do eixo (em metros). Explicando: J mede a resistência geométrica do contorno à torção; para um círculo fechado tem essa fórmula padrão.
  • A tensão de cisalhamento máxima (na superfície do eixo) causada por um torque T é dada por
\tau_{\max}=\frac{T c}{J},
onde c é o raio externo do eixo: c=\dfrac{d}{2}.
  • Substituindo J e c na expressão de \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{T\cdot(d/2)}{\pi d^{4}/32} = \frac{T\cdot d/2}{(\pi d^{4})/32} = \frac{32T}{2\pi d^{3}}=\frac{16T}{\pi d^{3}}.
  • Portanto, a fórmula prática que usaremos é
\tau_{\max}=\frac{16T}{\pi d^{3}}.
Essa é uma fórmula muito usada em projeto de eixos: para um eixo maciço circular, a tensão de cisalhamento máxima varia com T e decresce rapidamente com o cubo do diâmetro d.

Passo 4

Isolar d a partir da condição de segurança \tau_{\max}\le \tau_{\text{adm}} e obter a expressão para o diâmetro mínimo.
  • Queremos \tau_{\max} \le \tau_{\text{adm}}. Igualando para obter o diâmetro mínimo:
\tau_{\text{adm}}=\frac{16T}{\pi d^{3}} \quad\Rightarrow\quad d^{3}=\frac{16T}{\pi\tau_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad d=\sqrt[3]{\frac{16T}{\pi\tau_{\text{adm}}}}.
  • Nota sobre unidades: usar T em \text{N}\cdot\text{m}, \tau_{\text{adm}} em \text{Pa}=\text{N}/\text{m}^{2} e d resultará em metros.

Passo 5

Calcular numericamente o diâmetro mínimo para (a) f=30\\ \text{Hz}.
  • Substituir T_{a}\approx79{,}577\\ \text{N}\cdot\text{m} e \tau_{\text{adm}}=50\times10^{6}\\ \text{Pa} na fórmula:
d_{a}=\sqrt[3]{\frac{16\cdot79{,}577}{\pi\cdot 50\times10^{6}}}.
  • Fazer as contas passo a passo:
16\cdot79{,}577=1\,273{,}232\\ \text{(aprox.)}
(mais precisamente 16\cdot79{,}577\approx1273{,}2395, mantem-se a precisão durante o cálculo)
\pi\cdot50\times10^{6}\approx157{,}079{,}632{,}7.
\frac{16\cdot79{,}577}{\pi\cdot50\times10^{6}}\approx\frac{1273{,}2395}{157{,}079{,}632{,}7}\approx 8{,}103\times10^{-6}\\ \text{m}^{3}.
Tomando a raiz cúbica:
d_{a}=\sqrt[3]{8{,}103\times10^{-6}}\approx 0{,}02012\\ \text{m}=20{,}12\\ \text{mm}.
  • Arredondamento: para projeto costuma-se escolher um diâmetro comercial maior ou igual ao calculado; mas o valor mínimo teórico é d_{a}\approx0{,}0201\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular numericamente o diâmetro mínimo para (b) f=60\\ \text{Hz}.
  • Substituir T_{b}\approx39{,}788\\ \text{N}\cdot\text{m} na expressão:
d_{b}=\sqrt[3]{\frac{16\cdot39{,}788}{\pi\cdot50\times10^{6}}}.
  • Cálculo passo a passo:
16\cdot39{,}788\approx636{,}608
(mais precisamente 636{,}6192,)
\frac{636{,}619}{157{,}079{,}632{,}7}\approx 4{,}051\times10^{-6}\\ \text{m}^{3}.
Raiz cúbica:
d_{b}=\sqrt[3]{4{,}051\times10^{-6}}\approx 0{,}01598\\ \text{m}=15{,}98\\ \text{mm}.
  • Valor mínimo teórico: d_{b}\approx0{,}0160\\ \text{m}.

Passo 7

Verificação rápida dos resultados (checar tensão com os diâmetros obtidos).
  • Para d_{a}=0{,}02012\\ \text{m} e T_{a}=79{,}577\\ \text{N}\cdot\text{m}:
\tau=\frac{16T_{a}}{\pi d_{a}^{3}}\approx 50{,}0\\ \text{MPa}
(aproximação consistente com o projeto usando \tau_{\text{adm}}).
  • Para d_{b}=0{,}01598\\ \text{m} e T_{b}=39{,}788\\ \text{N}\cdot\text{m}:
\tau=\frac{16T_{b}}{\pi d_{b}^{3}}\approx 50{,}0\\ \text{MPa}.
Comentário amigo: esses diâmetros são os mínimos para que a tensão de cisalhamento alcance exatamente o valor admissível. Na prática, escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente maior (por exemplo 22 mm para o caso (a) e 18 mm para o caso (b)) para garantir tolerâncias, folgas e segurança extra.

Resposta

(a) d\approx 0{,}02012\\ \text{m}=20{,}12\\ \text{mm}
(b) d\approx 0{,}01598\\ \text{m}=15{,}98\\ \text{mm}

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