3.67 Utilizando um valor de tensāo de cisalhamento admissível igual a 50 MPa , projete um eixo de seção transversal cheia, feito de aço, para transmitir 1 5 kW à frequência de (a) 30 Hz e (b) 60 Hz .
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Potência a ser transmitida:
. - Frequências (velocidades de rotação) pedidas:
- (a)
(isto é, rotações por segundo). - (b)
.
- (a)
- Tensão de cisalhamento admissível do material (aço):
. - O eixo é de seção transversal cheia (eixo maciço, circular).
- Potência a ser transmitida:
-
O que o enunciado pede:
- Projetar (determinar) o diâmetro mínimo do eixo maciço tal que a tensão de cisalhamento devido ao torque de transmissão não exceda
, para cada uma das frequências (a) e (b).
- Projetar (determinar) o diâmetro mínimo do eixo maciço tal que a tensão de cisalhamento devido ao torque de transmissão não exceda
Passo 2
Entender a relação potência ↔ torque ↔ velocidade angular e calcular o torque transmissível a partir da potência.
- Relação física usada: a potência transmitida por um eixo em rotação é o produto do torque
pela velocidade angular :
Aqui:
-
é potência em watts ( ); -
é torque em newton-metro ( ); -
é velocidade angular em rad/s. -
A velocidade angular
relaciona-se com a frequência (em Hz = rotações por segundo) por
- Logo, o torque é
- Calcular os torques para os dois casos:
(a) Para
:
(b) Para
:
Comentários amigáveis: o torque cai pela metade quando a velocidade dobra, o que é intuitivo porque a mesma potência a maior velocidade exige menos torque.
Passo 3
Entender a fórmula da tensão de cisalhamento em um eixo circular sólido submetido a torque e obter a relação que liga
,
e o diâmetro
.
- Para um eixo circular maciço, o momento de inércia polar (segundo polar)
é
onde
é o diâmetro do eixo (em metros). Explicando:
mede a resistência geométrica do contorno à torção; para um círculo fechado tem essa fórmula padrão.
- A tensão de cisalhamento máxima (na superfície do eixo) causada por um torque
é dada por
onde
é o raio externo do eixo:
.
- Substituindo
e na expressão de :
- Portanto, a fórmula prática que usaremos é
Essa é uma fórmula muito usada em projeto de eixos: para um eixo maciço circular, a tensão de cisalhamento máxima varia com
e decresce rapidamente com o cubo do diâmetro
.
Passo 4
Isolar
a partir da condição de segurança
e obter a expressão para o diâmetro mínimo.
- Queremos
. Igualando para obter o diâmetro mínimo:
- Nota sobre unidades: usar
em , em e resultará em metros.
Passo 5
Calcular numericamente o diâmetro mínimo para (a)
.
- Substituir
e na fórmula:
- Fazer as contas passo a passo:
(mais precisamente
, mantem-se a precisão durante o cálculo)
Tomando a raiz cúbica:
- Arredondamento: para projeto costuma-se escolher um diâmetro comercial maior ou igual ao calculado; mas o valor mínimo teórico é
.
Passo 6
Calcular numericamente o diâmetro mínimo para (b)
.
- Substituir
na expressão:
- Cálculo passo a passo:
(mais precisamente
,)
Raiz cúbica:
- Valor mínimo teórico:
.
Passo 7
Verificação rápida dos resultados (checar tensão com os diâmetros obtidos).
- Para
e :
(aproximação consistente com o projeto usando
).
- Para
e :
Comentário amigo: esses diâmetros são os mínimos para que a tensão de cisalhamento alcance exatamente o valor admissível. Na prática, escolhe-se um diâmetro comercial imediatamente maior (por exemplo 22 mm para o caso (a) e 18 mm para o caso (b)) para garantir tolerâncias, folgas e segurança extra.
Resposta
(a)
(b)