65

Uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é dada por f(x)=a+b \cdot 0,25^{c \cdot x}. Sabe-se que f(0)=42, f(4)=18 e que \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=10, com a, b e c reais positivos.
Nessas condições, a+b+c vale
(A) 42,25 .
(B) 42,00 .
(C) 41,75 .
(D) 41,50 .

Passo 1

O enunciado dá uma função e pede o valor de a+b+c. As informações fornecidas são:
  • A função é f(x)=a+b\cdot 0,25^{c\cdot x} com a,b,c>0.
  • f(0)=42.
  • f(4)=18.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x)=10.
    A pergunta explícita: determinar o valor de a+b+c.

Passo 2

Usar o limite para encontrar a. Como 0,25\in(0,1) e c>0, temos (0,25)^{c x}\to 0 quando x\to+\infty. Portanto
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\bigl(a+b\cdot 0,25^{c x}\bigr)=a+ b\cdot 0 = a.
Pelo enunciado esse limite vale 10, logo
a=10.

Passo 3

Usar f(0)=42. Substituindo x=0 na definição de f:
f(0)=a+b\cdot 0,25^{c\cdot 0}=a+b\cdot 1=a+b.
Como f(0)=42 e já sabemos a=10, obtemos
10+b=42\quad\Rightarrow\quad b=32.

Passo 4

Usar f(4)=18. Substituindo x=4 e os valores de a e b:
f(4)=10+32\cdot 0,25^{4c}=18.
Isolando a potência:
32\cdot 0,25^{4c}=18-10=8,
logo
0,25^{4c}=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 5

Resolver a equação 0,25^{4c}=0,25. Podemos escrever 0,25=0,25^{1}. Como a função t\mapsto 0,25^{t} é injetora (ou então aplicando logaritmo natural), igualamos expoentes:
4c=1\quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{4}.
(Alternativamente: tomando ln em ambos os lados, 4c\ln(0,25)=\ln(0,25), portanto 4c=1.)

Passo 6

Calcular a+b+c com os valores encontrados:
a+b+c=10+32+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}=42,25.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, o valor corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) 42,25

Exercícios relacionados