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Em um triângulo retângulo A B C, o ângulo A \widehat{B} C mede 20^{\circ}. O lado B C é prolongado até o ponto D, de modo que C fique entre B e D e C D tenha a mesma medida de A C.
Nesse caso, é correto afirmar que a tangente da medida do arco DÂC
(A) é negativa.
(B) está entre 0 e \frac{\sqrt{3}}{3}.
(C) está entre \frac{\sqrt{3}}{3} e 1 .
(D) está entre 1 e \sqrt{3}.
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, bem explicadinho.
Temos um triângulo retângulo A B C.
O ângulo \displaystyle A\widehat{B}C (ou seja, \angle ABC) mede 20^\circ.
O lado BC é prolongado até um ponto D de modo que C fique entre B e D e \displaystyle CD tem a mesma medida que \displaystyle AC.
O que o enunciado pede: analisar a tangente da medida do ângulo \displaystyle D\widehat{A}C (ou seja, \tan(\angle DAC)) e escolher qual das alternativas (A) a (D) é correta.
Informações relevantes extraídas:
\angle ABC = 20^\circ.
\displaystyle CD = AC.
D está sobre a reta BC além de C.
Passo 2
Escolher um método: vou usar coordenadas cartesianas (geometria analítica), porque é prático para representar os comprimentos e calcular inclinações de retas (e a tangente do ângulo entre duas retas sai fácil da inclinação). Esse método é simples e conduz direto ao valor exato da tangente.
Construção coordenada (escolha conveniente):
Coloco C na origem: C=(0,0).
Como o triângulo é retângulo, é conveniente tomar os catetos ao longo dos eixos: tomo CB ao longo do eixo x positivo e CA ao longo do eixo y positivo. Assim B=(b,0) com b>0 e A=(0,a) com a>0.
Observe que \overline{BC} tem comprimento b e \overline{AC} tem comprimento a.
Passo 3
Relacionar a e b usando \angle ABC=20^\circ.
No vértice B, o segmento BC vem de B para C (vetor (-b,0)) e o segmento BA vai de B para A (vetor (-b,a)). O ângulo entre a direção do eixo negativo x (que é a direção de BC visto de B) e o vetor (-b,a) tem tangente \dfrac{a}{b}.
Assim temos
\tan(20^\circ)=\frac{a}{b}.
Ou seja,
a=b\;\tan(20^\circ).
Isso só fixa a razão a/b; o resultado final deverá ser independente da escolha numérica de b.
Passo 4
Localizar D pelo dado CD=AC.
Como C=(0,0) e CD está sobre a reta BC prolongada além de C, o ponto D está à esquerda da origem sobre o eixo x. Como CD=AC=a, o ponto D tem coordenada x=-a: assim
D=(-a,0).
Confirmando: C fica entre B=(b,0) e D=(-a,0).
Passo 5
Determinar a inclinação (coeficiente angular) da reta AD e da reta AC.
A reta AC passa por A=(0,a) e C=(0,0). É a reta vertical x=0. Uma reta vertical não tem coeficiente angular finito; diremos que sua direção é vertical (vetor direção (0,-1) apontando de A para C).
A reta AD passa por A=(0,a) e D=(-a,0). Seu coeficiente angular é
m_{AD}=\frac{0-a}{-a-0}=\frac{-a}{-a}=1.
Logo a reta AD tem inclinação 1 (ou seja, faz 45^\circ com o eixo x).
Passo 6
Calcular \angle DAC e sua tangente, explicando o que significa tangente aqui.
Visualizando em A: a semi-reta A C vai verticalmente para baixo (direção do vetor (0,-1)); a semi-reta A D vai para baixo e para a esquerda na direção do vetor (-1,-1) (proporcional a (-1,-1)).
O ângulo agudo entre a direção vertical (para baixo) e a direção (-1,-1) é 45^\circ. (Raciocínio rápido: a direção (-1,-1) forma 225^\circ medidos a partir do eixo x positivo, a vertical para baixo é 270^\circ; a diferença mínima é 270^\circ-225^\circ=45^\circ.)
Portanto
\angle DAC = 45^\circ.
E como lembrança básica de trigonometria: a tangente de 45^\circ é
\tan(45^\circ)=1.
Breve comentário didático sobre tangente: para um ângulo \theta num triângulo retângulo, \tan\theta é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente; em termos de inclinações de retas, se uma reta tem inclinação m e a outra é vertical, o ângulo entre elas pode ser obtido comparando a inclinação (a relação resulta em \tan do ângulo — aqui foi direto porque a inclinação de AD é 1, isto é, 45^\circ).
Passo 7
Concluir qual alternativa é correta, comparando o valor encontrado com os intervalos dados.
Encontramos \tan(\angle DAC)=1.
Agora comparar com as opções:
(A) negativa → não.
(B) entre 0 e \dfrac{\sqrt{3}}{3} (\approx0{,}577) → não.
(C) entre \dfrac{\sqrt{3}}{3} e 1 → o valor encontrado é 1 (bordo do intervalo).
(D) entre 1 e \sqrt{3} (\approx1{,}732) → o valor 1 é o extremo inferior.
Como o valor exato é \;1\;=\tan(45^\circ), a alternativa que corresponde ao valor obtido (considerando a igualdade com o limite) é a que contém 1 na sua extremidade. A alternativa que apresenta o intervalo que termina em 1 é a (C). (O cálculo exato mostra que a tangente é 1.)