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Considere a função
, tal que
.
A soma das soluções da equação
é
(A)
(B)
(C)
(D)
A soma das soluções da equação
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se a soma das soluções da equação
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O domínio é
. - A equação a resolver é
(notação ambígua — será tratada nos passos seguintes). - O problema é de escolha múltipla com alternativas: (A)
, (B) , (C) , (D) .
Passo 2
Interpretação da notação
. Há duas interpretações possíveis:
-
como o inverso multiplicativo (recíproco) de , isto é ; - ou
como a função inversa de .
Para decidir qual interpretar, veja que a forma do problema (buscar soluções onde a função coincide com a sua “inversa”) e as alternativas sugerem a interpretação como função inversa
. Além disso, se fosse recíproco a equação seria
, levando a soluções que envolveriam a equação
e aí apareceria a função de Lambert
(não compatível com as alternativas simples dadas). Então vou interpretar
como igualdade entre a função e a sua função inversa
.
Agora pergunto: o que significa
quando
existe? Em termos práticos, para um
com
definido, a igualdade pede que os valores de
em
e o valor da inversa em
sejam iguais.
Passo 3
Condição necessária para usar
: a função
tem inversa (ao menos sobre sua imagem). Vou verificar se
é injetora em
, porque injetividade garante existência da inversa sobre a imagem.
Calcule a derivada de
:
Explique o que isso significa:
- Aqui
é a taxa de variação de em relação a . - O fator
é sempre positivo (para todo ), e o fator também. - Portanto o sinal de
é dado pelo sinal de .
No intervalo
temos
, com igualdade apenas em
. Logo:
- Para
, e é estritamente crescente em . - Em
, , mas isso é um ponto isolado de derivada zero; globalmente em a função é monotonicamente crescente (não decrescente) e, por ser estritamente crescente em e contínua, é injetora em .
Conclusão:
é injetora em
, portanto a função inversa
existe (pelo menos definida na imagem
). Isso valida a interpretação
.
Passo 4
Caracterize as soluções de
para uma função estritamente crescente
.
Se
é estritamente crescente e
, então denotando
temos
, que por definição de inversa é equivalente a
. Assim
e
. Agora, porque
é estritamente crescente, não é possível ter
(pois então
, contradição) nem
(pois então
, contradição). Logo deve ocorrer
. Em outras palavras, para função estritamente crescente, igualdade com a inversa implica que
é ponto fixo:
Portanto, no nosso caso basta resolver a equação dos pontos fixos:
Passo 5
Resolver a equação
explicitamente.
A equação é
Explico as etapas de resolução:
- Primeiro, observe a solução óbvia
. Substituindo no lado esquerdo obtém-se , logo é solução. - Para não perder soluções, trate também o caso
. Se , divide-se ambos os lados por (isso é legítimo porque não é zero):
- Multiplicando por
:
- Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Assim as soluções da equação
no domínio dado são
e
.
Passo 6
Verificações finais (domínio e validade do uso de
):
- Ambas as soluções estão no domínio
: e . - É necessário também que
esteja definido nos pontos que testamos; isto requer que pertença à imagem . A imagem de é um intervalo que começa em e se estende até , logo contém e . Portanto está bem definido nesses . - Como
é estritamente crescente, não existem ciclos de ordem 2 diferentes de pontos fixos, então não perdemos soluções não-fixas.
Passo 7
Calcule a soma das soluções encontradas.
As soluções são
e
. A soma é