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Considere a função h:[-1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, tal que h(x)=\frac{x}{2} \cdot e^{x}.
A soma das soluções da equação h(x)=h(x)^{-1} é
(A) e+\ln (2)
(B) \ln (2)
(C) \log _{2}(e)
(D) e+2

Passo 1

O enunciado dá a função h:[-1,\infty)\to\mathbb{R} definida por
h(x)=\frac{x}{2}\,e^{x}.
Pede-se a soma das soluções da equação h(x)=h(x)^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é h(x)=\dfrac{x}{2}e^{x}.
  • O domínio é [-1,\infty).
  • A equação a resolver é h(x)=h(x)^{-1} (notação ambígua — será tratada nos passos seguintes).
  • O problema é de escolha múltipla com alternativas: (A) e+\ln(2), (B) \ln(2), (C) \log_{2}(e), (D) e+2.

Passo 2

Interpretação da notação h(x)^{-1}. Há duas interpretações possíveis:
  • h(x)^{-1} como o inverso multiplicativo (recíproco) de h(x), isto é \dfrac{1}{h(x)};
  • ou h^{-1}(x) como a função inversa de h.
Para decidir qual interpretar, veja que a forma do problema (buscar soluções onde a função coincide com a sua “inversa”) e as alternativas sugerem a interpretação como função inversa h^{-1}(x). Além disso, se fosse recíproco a equação seria h(x)=1/h(x)\Rightarrow h(x)^2=1, levando a soluções que envolveriam a equação x e^{x}=\pm 2 e aí apareceria a função de Lambert W (não compatível com as alternativas simples dadas). Então vou interpretar h(x)=h^{-1}(x) como igualdade entre a função e a sua função inversa h^{-1}.
Agora pergunto: o que significa h(x)=h^{-1}(x) quando h^{-1} existe? Em termos práticos, para um x com h^{-1}(x) definido, a igualdade pede que os valores de h em x e o valor da inversa em x sejam iguais.

Passo 3

Condição necessária para usar h^{-1}: a função h tem inversa (ao menos sobre sua imagem). Vou verificar se h é injetora em [-1,\infty), porque injetividade garante existência da inversa sobre a imagem.
Calcule a derivada de h:
h'(x)=\frac{1}{2}e^{x}(1+x).
Explique o que isso significa:
  • Aqui h'(x) é a taxa de variação de h em relação a x.
  • O fator e^{x} é sempre positivo (para todo x), e o fator \tfrac{1}{2} também.
  • Portanto o sinal de h'(x) é dado pelo sinal de (1+x).
No intervalo [-1,\infty) temos (1+x)\ge 0, com igualdade apenas em x=-1. Logo:
  • Para x>-1, h'(x)>0 e h é estritamente crescente em (-1,\infty).
  • Em x=-1, h'(-1)=0, mas isso é um ponto isolado de derivada zero; globalmente em [-1,\infty) a função é monotonicamente crescente (não decrescente) e, por ser estritamente crescente em (-1,\infty) e contínua, é injetora em [-1,\infty).
Conclusão: h é injetora em [-1,\infty), portanto a função inversa h^{-1} existe (pelo menos definida na imagem h([-1,\infty))). Isso valida a interpretação h^{-1}(x).

Passo 4

Caracterize as soluções de h(x)=h^{-1}(x) para uma função estritamente crescente h.
Se h é estritamente crescente e h(x)=h^{-1}(x), então denotando y=h(x) temos y=h^{-1}(x), que por definição de inversa é equivalente a h(y)=x. Assim h(x)=y e h(y)=x. Agora, porque h é estritamente crescente, não é possível ter x<y (pois então h(x)<h(y)\Rightarrow y<x, contradição) nem x>y (pois então h(x)>h(y)\Rightarrow y>x, contradição). Logo deve ocorrer x=y. Em outras palavras, para função estritamente crescente, igualdade com a inversa implica que x é ponto fixo:
h(x)=h^{-1}(x)\quad\Longrightarrow\quad h(x)=x.
Portanto, no nosso caso basta resolver a equação dos pontos fixos:
h(x)=x.

Passo 5

Resolver a equação h(x)=x explicitamente.
A equação é
\frac{x}{2}\,e^{x}=x.
Explico as etapas de resolução:
  • Primeiro, observe a solução óbvia x=0. Substituindo x=0 no lado esquerdo obtém-se 0, logo 0 é solução.
  • Para não perder soluções, trate também o caso x\neq 0. Se x\neq 0, divide-se ambos os lados por x (isso é legítimo porque x não é zero):
\frac{1}{2}\,e^{x}=1.
  • Multiplicando por 2:
e^{x}=2.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
x=\ln(2).
Assim as soluções da equação h(x)=x no domínio dado são x=0 e x=\ln(2).

Passo 6

Verificações finais (domínio e validade do uso de h^{-1}):
  • Ambas as soluções estão no domínio [-1,\infty): 0\in[-1,\infty) e \ln(2)\approx 0{,}693> -1.
  • É necessário também que h^{-1}(x) esteja definido nos pontos x que testamos; isto requer que x pertença à imagem h([-1,\infty)). A imagem de h é um intervalo que começa em h(-1)=\dfrac{-1}{2}e^{-1}=-\dfrac{1}{2e} e se estende até +\infty, logo contém 0 e \ln(2). Portanto h^{-1}(x) está bem definido nesses x.
  • Como h é estritamente crescente, não existem ciclos de ordem 2 diferentes de pontos fixos, então não perdemos soluções não-fixas.

Passo 7

Calcule a soma das soluções encontradas.
As soluções são x=0 e x=\ln(2). A soma é
0+\ln(2)=\ln(2).

Resposta

\ln(2)

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