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Dois jogadores A e B disputam uma sequência de partidas de gamão. Sagra-se campeão aquele que vencer 3 partidas consecutivas.
O número de maneiras distintas de o jogador A ser o campeão jogando, no máximo, 6 partidas, é igual a
(A) 4 .
(B) 5 .
(C) 6 .
(D) 7 .
(A) 4 .
(B) 5 .
(C) 6 .
(D) 7 .
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantas maneiras distintas o jogador A pode sagrar-se campeão, sabendo que o campeão é quem vencer três partidas consecutivas, e que a disputa dura no máximo
partidas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Cada partida tem como resultado um vencedor:
ou . - O torneio termina assim que algum jogador obtiver três vitórias consecutivas.
- Queremos contar apenas as sequências (listas de resultados) que terminam com
sendo declarado campeão e cujo comprimento (número de partidas jogadas) é . - Devemos excluir sequências em que, antes do momento em que
obtém três vitórias consecutivas, já tenha ocorrido três vitórias consecutivas de qualquer jogador (pois aí o torneio teria terminado antes).
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): vamos enumerar todas as sequências possíveis que terminam exatamente quando
conquista três vitórias consecutivas, para comprimentos
. Para uma sequência ser válida:
- Ela deve terminar com
(as três últimas partidas vencidas por ); - Não pode conter
em nenhuma posição anterior (pois isso teria feito o torneio terminar antes); - Nem pode conter
em nenhuma posição anterior (pois isso faria ser campeão antes de ).
Vou analisar cada comprimento separadamente, mostrar as restrições e contar as sequências válidas. Isso é um problema clássico de contagem de sequências com restrições de padrões.
Passo 3
Caso
.
A sequência deve ser exatamente . Não existe ocorrência anterior de
nem de
.
Quantidade de sequências válidas com :
(a sequência
).
A sequência deve ser exatamente
Quantidade de sequências válidas com
Passo 4
Caso
.
Uma sequência válida deve terminar com , então tem a forma
onde
.
Uma sequência válida deve terminar com
- Se
então as três primeiras partidas seriam e o torneio já teria terminado em : inválido. - Se
temos a sequência . Verificar anterior: não ocorre (os três primeiros são ). Então é válida.
Quantidade de sequências válidas com: (a sequência ).
Passo 5
Caso
.
Forma geral: com
. Devemos impedir que haja
em posições anteriores (isto é, em
ou
) e também impedir
em
ou
.
Forma geral:
- Para evitar
em (as partidas ), note que e (são as duas primeiras A do final), então se teríamos em . Logo é obrigatório . - Com
, a janela é e não pode ser nem ; como tem um no meio e um no fim, ela nunca é nem . Assim pode ser ou .
Portanto as sequências válidas sãoe .
Quantidade de sequências válidas com: .
Passo 6
Caso
.
Forma geral: com
. Devemos impedir
nas janelas anteriores
,
,
e também impedir
nessas mesmas janelas. Como
são
, observe:
Forma geral:
- A janela
é . Para que ela não seja precisamos ter . Logo obrigatoriamente . - Com
, a janela é e a janela é . Nenhuma delas será (há pelo menos um em cada). Porém precisamos também evitar : isso só pode ocorrer se . Como forçamos , o caso proibido é e simultaneamente (pois isso daria em ). - Portanto
e são livres em salvo a combinação que é proibida. Há combinações possíveis para menos a proibida , ficando combinações válidas.
Listando as válidas:, , . A sequência é inválida porque já dá em .
Quantidade de sequências válidas com: .
Passo 7
Somando todas as quantidades encontradas para
:
Check rápido: listando todas as sequências válidas obtém-se exatamente as sete:
.