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Dois jogadores A e B disputam uma sequência de partidas de gamão. Sagra-se campeão aquele que vencer 3 partidas consecutivas.
O número de maneiras distintas de o jogador A ser o campeão jogando, no máximo, 6 partidas, é igual a
(A) 4 .
(B) 5 .
(C) 6 .
(D) 7 .

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantas maneiras distintas o jogador A pode sagrar-se campeão, sabendo que o campeão é quem vencer três partidas consecutivas, e que a disputa dura no máximo \,6\, partidas.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Cada partida tem como resultado um vencedor: A ou B.
  • O torneio termina assim que algum jogador obtiver três vitórias consecutivas.
  • Queremos contar apenas as sequências (listas de resultados) que terminam com A sendo declarado campeão e cujo comprimento (número de partidas jogadas) é \le 6.
  • Devemos excluir sequências em que, antes do momento em que A obtém três vitórias consecutivas, já tenha ocorrido três vitórias consecutivas de qualquer jogador (pois aí o torneio teria terminado antes).

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): vamos enumerar todas as sequências possíveis que terminam exatamente quando A conquista três vitórias consecutivas, para comprimentos n=3,4,5,6. Para uma sequência ser válida:
  • Ela deve terminar com \text{AAA} (as três últimas partidas vencidas por A);
  • Não pode conter \text{AAA} em nenhuma posição anterior (pois isso teria feito o torneio terminar antes);
  • Nem pode conter \text{BBB} em nenhuma posição anterior (pois isso faria B ser campeão antes de A).
    Vou analisar cada comprimento separadamente, mostrar as restrições e contar as sequências válidas. Isso é um problema clássico de contagem de sequências com restrições de padrões.

Passo 3

Caso n=3.
A sequência deve ser exatamente \text{AAA}. Não existe ocorrência anterior de \text{AAA} nem de \text{BBB}.
Quantidade de sequências válidas com n=3: \,1\, (a sequência \text{AAA}).

Passo 4

Caso n=4.
Uma sequência válida deve terminar com \text{AAA}, então tem a forma x\,\text{AAA} onde x\in\{A,B\}.
  • Se x=A então as três primeiras partidas seriam \text{AAA} e o torneio já teria terminado em n=3: inválido.
  • Se x=B temos a sequência \text{BAAA}. Verificar \text{BBB} anterior: não ocorre (os três primeiros são B,A,A). Então \text{BAAA} é válida.
    Quantidade de sequências válidas com n=4: \,1\, (a sequência \text{BAAA}).

Passo 5

Caso n=5.
Forma geral: s_1 s_2 \,\text{AAA} com s_1,s_2\in\{A,B\}. Devemos impedir que haja \text{AAA} em posições anteriores (isto é, em 1\!-\!3 ou 2\!-\!4) e também impedir \text{BBB} em 1\!-\!3 ou 2\!-\!4.
  • Para evitar \text{AAA} em 2\!-\!4 (as partidas s_2,s_3,s_4), note que s_3=A e s_4=A (são as duas primeiras A do final), então se s_2=A teríamos \text{AAA} em 2\!-\!4. Logo é obrigatório s_2=B.
  • Com s_2=B, a janela 1\!-\!3 é s_1,B,A e não pode ser \text{BBB} nem \text{AAA}; como tem um B no meio e um A no fim, ela nunca é \text{AAA} nem \text{BBB}. Assim s_1 pode ser A ou B.
    Portanto as sequências válidas são \text{ABAAA} e \text{BBAAA}.
    Quantidade de sequências válidas com n=5: \,2\,.

Passo 6

Caso n=6.
Forma geral: s_1 s_2 s_3 \,\text{AAA} com s_1,s_2,s_3\in\{A,B\}. Devemos impedir \text{AAA} nas janelas anteriores 1\!-\!3, 2\!-\!4, 3\!-\!5 e também impedir \text{BBB} nessas mesmas janelas. Como s_4,s_5,s_6 são A,A,A, observe:
  • A janela 3\!-\!5 é s_3,A,A. Para que ela não seja \text{AAA} precisamos ter s_3=B. Logo obrigatoriamente s_3=B.
  • Com s_3=B, a janela 2\!-\!4 é s_2,B,A e a janela 1\!-\!3 é s_1,s_2,B. Nenhuma delas será \text{AAA} (há pelo menos um B em cada). Porém precisamos também evitar \text{BBB}: isso só pode ocorrer se s_1=s_2=s_3=B. Como forçamos s_3=B, o caso proibido é s_1=B e s_2=B simultaneamente (pois isso daria \text{BBB} em 1\!-\!3).
  • Portanto s_1 e s_2 são livres em \{A,B\} salvo a combinação s_1=s_2=B que é proibida. Há 2\times2=4 combinações possíveis para (s_1,s_2) menos a proibida BB, ficando 3 combinações válidas.
    Listando as válidas: \text{AABAAA}, \text{ABBAAA}, \text{BABAAA}. A sequência \text{BBBAAA} é inválida porque já dá \text{BBB} em 1\!-\!3.
    Quantidade de sequências válidas com n=6: \,3\,.

Passo 7

Somando todas as quantidades encontradas para n=3,4,5,6:
1 + 1 + 2 + 3 = 7.
Check rápido: listando todas as sequências válidas obtém-se exatamente as sete: \text{AAA},\\ \text{BAAA},\\ \text{ABAAA},\\ \text{BBAAA},\\ \text{AABAAA},\\ \text{ABBAAA},\\ \text{BABAAA}.

Resposta

\,7\,

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