Um serralheiro precisa fazer assentos de madeira de formato circular com \sqrt{2} \mathrm{~m} de diâmetro e e cortado de uma de madeira retangular que mede 0,70 \mathrm{~m} \times 1,00 \mathrm{~m}. Se o assento não pode ter emendas, pede-se:
a) o maior número de assentos que podem ser obtidos de uma única tábua;
b) determinar a área, em centímetros quadrados, da superfície da tábua que não é aproveitada após o corte do maior número possível de assentos que se pode obter.
Use \pi \simeq 3,1.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Tábua retangular com dimensões 0,70\\ \mathrm{m} por 1,00\\ \mathrm{m}.
    • Cada assento tem formato circular com diâmetro \sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
    • Usar \pi \simeq 3,1 (informação fornecida).
  • Perguntas:
    • (a) Qual o maior número de assentos que podem ser obtidos de uma única tábua, sem emendas?
    • (b) Qual a área, em centímetros quadrados, da superfície da tábua que não é aproveitada após cortar o maior número possível de assentos?

Passo 2

Entender quando um círculo de diâmetro D cabe numa tábua retangular sem emendas: um círculo cabe dentro do retângulo se e somente se o diâmetro D for menor ou igual à menor dimensão do retângulo. Isso porque o círculo tem que caber em altura e em largura simultaneamente, e o círculo não depende de orientação (ele é simétrico). Portanto a condição de encaixe é
D \le \min(\text{largura da tábua},\\ \text{comprimento da tábua}).áá

Passo 3

Aplicar a condição ao problema. O diâmetro do assento é D=\sqrt{2}\\ \mathrm{m}. Vamos comparar numericamente com as dimensões da tábua:
\sqrt{2}\approx 1,4142\\ \mathrm{m}.
As dimensões da tábua são 0,70\\ \mathrm{m} e 1,00\\ \mathrm{m}. Observa-se que
\sqrt{2}\approx 1,4142 > 1,00\\ \mathrm{m} \quad\text{e}\quad \sqrt{2}\approx 1,4142 > 0,70\\ \mathrm{m}.
Como o diâmetro do círculo é maior que ambas as dimensões da tábua, ele não cabe em nenhuma das direções. Logo não é possível obter nem um único assento inteiro sem emenda a partir dessa tábua.

Passo 4

Conclusão da parte (a): o número máximo de assentos inteiros que se pode cortar é zero. Vou explicar explicitamente: como um único círculo já não cabe dentro do retângulo (diâmetro maior que a menor dimensão), não há como cortar nenhum círculo sem emenda.

Passo 5

Agora calcular a área da tábua que não é aproveitada. Como não se pode cortar nenhum assento, toda a área da tábua permanece não aproveitada. Primeiro a área em metros quadrados:
A_{\text{tábua}} = 0,70\\ \mathrm{m}\times 1,00\\ \mathrm{m} = 0,70\\ \mathrm{m}^2.á
Converter para centímetros quadrados: 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}, logo 1\\ \mathrm{m}^2=100^2=10000\\ \mathrm{cm}^2. Portanto
A_{\text{tábua}} = 0,70\\ \mathrm{m}^2 \times 10000\\ \frac{\mathrm{cm}^2}{\mathrm{m}^2} = 7000\\ \mathrm{cm}^2.á
Breve observação sobre \pi: a constante \pi e a área de um círculo seriam úteis se ao menos um círculo coubesse na tábua (para calcular área aproveitada). Como nenhum assento pode ser cortado, \pi não entra no cálculo final neste caso.

Resposta

a) 0 assentos
b) 7000\\ \mathrm{cm}^2

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