66 Um elétron se encontra no vácuo, perto da superfície da Terra, no ponto y=0 de um eixo vertical. Qual deve ser a coordenada y de um segundo elétron situado no eixo y para que a força eletrostática exercida sobre o primeiro elétron compense o peso do primeiro elétron?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um elétron (eletrón 1) está no vácuo no ponto y=0 do eixo vertical.
    • Há um segundo elétron (eletrón 2) colocado em algum ponto do mesmo eixo y (ou seja, em coordenada y desconhecida).
    • A massa do elétron é m_e e sua carga é -e. Valores numéricos que usarei: m_e=9,11\times10^{-31}\\ \text{kg} e e=1,602\times10^{-19}\\ \text{C}.
    • A aceleração da gravidade é g=9,8\\ \text{m/s}^2.
    • A constante eletrostática (lei de Coulomb) é k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8,99\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a coordenada y do segundo elétron de modo que a força eletrostática exercida sobre o primeiro elétron compense (isto é, anule) o peso do primeiro elétron.

Passo 2

Entender as forças envolvidas e como calculá‑las.
  • Peso do primeiro elétron: é a força gravitacional para baixo dada por
F_{\text{peso}} = m_e g,
onde m_e é a massa do elétron e g é a aceleração da gravidade.
  • Força eletrostática entre duas cargas pontuais (lei de Coulomb): a intensidade é
F_{\text{el}} = k\frac{Q_1 Q_2}{r^2},
onde k é a constante eletrostática, Q_1 e Q_2 são as cargas e r é a distância entre elas. No nosso caso Q_1=Q_2=-e, então a magnitude da força é
F_{\text{el}} = k\frac{e^2}{r^2}.
Note que a força entre cargas iguais é repulsiva: cada elétron é empurrado para longe do outro.

Passo 3

Analisar a direção da força eletrostática para saber em que posição colocar o segundo elétron.
  • Se o segundo elétron estiver acima do primeiro (isto é, em y>0), a repulsão empurra o primeiro elétron para baixo — mesma direção do peso — logo não é possível anular o peso com essa configuração.
  • Se o segundo elétron estiver abaixo do primeiro (isto é, y<0), a repulsão empurra o primeiro elétron para cima, ou seja, na direção oposta ao peso. Essa configuração pode permitir que a componente vertical da força eletrostática anule o peso.
Conclusão: o segundo elétron deve ficar em y<0. Vamos calcular o valor de y (ou seja, a distância r=|y|) que faz as magnitudes das forças serem iguais.

Passo 4

Escrever a condição de equilíbrio em termos de magnitudes e isolar a distância r.
A condição para que a força eletrostática compense o peso é
F_{\text{el}} = F_{\text{peso}}.
Substituindo as fórmulas:
k\frac{e^2}{r^2} = m_e g.
Isolando r:
r^2 = \frac{k e^2}{m_e g}, \qquad r = \sqrt{\frac{k e^2}{m_e g}}.
Aqui r=|y| é a distância entre os elétrons; como concluímos que o segundo elétron precisa estar abaixo do primeiro, teremos y=-r.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Usando os valores:
k = 8,99\times10^{9},\quad e=1,602\times10^{-19},\quad m_e=9,11\times10^{-31},\quad g=9,8.
Calcular o numerador k e^2:
e^2 = (1,602\times10^{-19})^2 = 2,5664\times10^{-38},
k e^2 = 8,99\times10^{9}\times 2,5664\times10^{-38} = 2,3066\times10^{-28}.
Calcular o denominador m_e g:
m_e g = 9,11\times10^{-31}\times 9,8 = 8,9278\times10^{-30}.
Fazer a divisão:
\frac{k e^2}{m_e g} = \frac{2,3066\times10^{-28}}{8,9278\times10^{-30}} \approx 25,83.
Agora a raiz quadrada:
r = \sqrt{25,83} \approx 5,08\\ \text{m}.

Passo 6

Interpretar o resultado e dar a coordenada y.
  • A distância entre os elétrons necessária para equilibrar o peso do elétron em y=0 é r\approx5,08\\ \text{m}.
  • Como o segundo elétron deve estar abaixo do primeiro para que a repulsão seja para cima, a coordenada pedida é
y = -r \approx -5,08\\ \text{m}.
Pequeno incentivo: o valor é grande (alguns metros) porque o peso de um elétron é extremamente pequeno; a força eletrostática entre cargas puntiformes diminui com o quadrado da distância, então é preciso separar bastante as cargas para reduzir a força até o valor muito pequeno do peso.

Resposta

-5,08\\ \text{m}

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