66 Um elétron se encontra no vácuo, perto da superfície da Terra, no ponto
de um eixo vertical. Qual deve ser a coordenada
de um segundo elétron situado no eixo
para que a força eletrostática exercida sobre o primeiro elétron compense o peso do primeiro elétron?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Um elétron (eletrón 1) está no vácuo no ponto
do eixo vertical. - Há um segundo elétron (eletrón 2) colocado em algum ponto do mesmo eixo
(ou seja, em coordenada desconhecida). - A massa do elétron é
e sua carga é . Valores numéricos que usarei: e . - A aceleração da gravidade é
. - A constante eletrostática (lei de Coulomb) é
.
- Um elétron (eletrón 1) está no vácuo no ponto
-
O que o enunciado pede:
- Determinar a coordenada
do segundo elétron de modo que a força eletrostática exercida sobre o primeiro elétron compense (isto é, anule) o peso do primeiro elétron.
- Determinar a coordenada
Passo 2
Entender as forças envolvidas e como calculá‑las.
- Peso do primeiro elétron: é a força gravitacional para baixo dada por
onde
é a massa do elétron e
é a aceleração da gravidade.
- Força eletrostática entre duas cargas pontuais (lei de Coulomb): a intensidade é
onde
é a constante eletrostática,
e
são as cargas e
é a distância entre elas. No nosso caso
, então a magnitude da força é
Note que a força entre cargas iguais é repulsiva: cada elétron é empurrado para longe do outro.
Passo 3
Analisar a direção da força eletrostática para saber em que posição colocar o segundo elétron.
- Se o segundo elétron estiver acima do primeiro (isto é, em
), a repulsão empurra o primeiro elétron para baixo — mesma direção do peso — logo não é possível anular o peso com essa configuração. - Se o segundo elétron estiver abaixo do primeiro (isto é,
), a repulsão empurra o primeiro elétron para cima, ou seja, na direção oposta ao peso. Essa configuração pode permitir que a componente vertical da força eletrostática anule o peso.
Conclusão: o segundo elétron deve ficar em
. Vamos calcular o valor de
(ou seja, a distância
) que faz as magnitudes das forças serem iguais.
Passo 4
Escrever a condição de equilíbrio em termos de magnitudes e isolar a distância
.
A condição para que a força eletrostática compense o peso é
Substituindo as fórmulas:
Isolando
:
Aqui
é a distância entre os elétrons; como concluímos que o segundo elétron precisa estar abaixo do primeiro, teremos
.
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Usando os valores:
Calcular o numerador
:
Calcular o denominador
:
Fazer a divisão:
Agora a raiz quadrada:
Passo 6
Interpretar o resultado e dar a coordenada
.
- A distância entre os elétrons necessária para equilibrar o peso do elétron em
é . - Como o segundo elétron deve estar abaixo do primeiro para que a repulsão seja para cima, a coordenada pedida é
Pequeno incentivo: o valor é grande (alguns metros) porque o peso de um elétron é extremamente pequeno; a força eletrostática entre cargas puntiformes diminui com o quadrado da distância, então é preciso separar bastante as cargas para reduzir a força até o valor muito pequeno do peso.