69 No decaimento radioativo da Eq. 21-13, um núcleo de { }^{238} \mathrm{U} se transforma em { }^{234} \mathrm{Th} e { }^{4} \mathrm{He}, que é ejetado. (Trata-se de núcleos e não de átomos; isso significa que não há elétrons envolvidos.) Para uma distância entre os núcleos de { }^{234} \mathrm{Th} e { }^{4} \mathrm{He} de 9,0 \times 10^{-15} \mathrm{~m}, determine (a) a força eletrostática entre os núcleos e (b) a aceleração do núcleo de { }^{4} \mathrm{He}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O decaimento é {}^{238}\mathrm{U}\to{}^{234}\mathrm{Th}+{}^{4}\mathrm{He} (são núcleos, sem elétrons).
  • A distância entre os núcleos é \,r=9,0\times10^{-15}\\ \text{m} (peguei este valor do enunciado).
  • Os números atômicos (carga nuclear) são: tório ( \mathrm{Th}) tem Z_{\mathrm{Th}}=90 e hélio ( \mathrm{He}, partícula \alpha) tem Z_{\mathrm{He}}=2. Logo as cargas elétricas dos núcleos são \,q_{\mathrm{Th}}=+90e e \,q_{\mathrm{He}}=+2e, onde e é a carga elementar.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar a força eletrostática entre os núcleos;
    (b) determinar a aceleração do núcleo de {}^{4}\mathrm{He}.

Passo 2

Entender e aplicar a lei de Coulomb (fórmula usada).
A lei de Coulomb dá a magnitude da força elétrica entre duas cargas pontuais:
F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2}.
Explicando cada símbolo:
  • \,F é a magnitude da força elétrica (em newtons, \mathrm{N}).
  • \,k é a constante eletrostática do vácuo; vou usar \,k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • \,q_1 e \,q_2 são as cargas das partículas (em coulombs, \mathrm{C}).
  • \,r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m}).
Agora substituo as cargas dos núcleos:
q_{\mathrm{Th}}=90e,\qquad q_{\mathrm{He}}=2e,
portanto
q_{\mathrm{Th}}q_{\mathrm{He}}=180\,e^{2}.
A carga elementar é \,e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. Calculo e^{2}:
e^{2}=(1{,}602176634\times10^{-19})^{2}=2{,}5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^{2}}.
Multiplicando por 180:
180\,e^{2}=180\times2{,}5669699\times10^{-38}=4{,}6205458\times10^{-36}\\ \mathrm{C^{2}}.

Passo 3

Calcular a força usando os valores numéricos.
Aplicando a fórmula de Coulomb:
F = k\,\frac{180\,e^{2}}{r^{2}}.
Substituindo k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, 180e^{2}=4{,}6205458\times10^{-36}\\ \mathrm{C^{2}} e r=9{,}0\times10^{-15}\\ \mathrm{m} (logo r^{2}=(9{,}0\times10^{-15})^{2}=8{,}10\times10^{-29}\\ \mathrm{m^{2}}):
F = \frac{8{,}99\times10^{9}\times4{,}6205458\times10^{-36}}{8{,}10\times10^{-29}}.
Faço as potências de dez separadamente:
\text{numerador} = 8{,}99\times4{,}6205458 \times10^{9-36}=41{,}552\times10^{-27}=4{,}1552\times10^{-26}.
Dividindo pelo denominador 8{,}10\times10^{-29}:
F = \frac{4{,}1552\times10^{-26}}{8{,}10\times10^{-29}}=\frac{4{,}1552}{8{,}10}\times10^{3}\approx0{,}5138\times10^{3}=5{,}138\times10^{2}\\ \mathrm{N}.
Arredondando coerentemente com os dados (distância dada com duas cifras significativas), tomo:
F \approx 5{,}1\times10^{2}\\ \mathrm{N}.
Observação física: como ambas as cargas são positivas, a força é de repulsão — o núcleo de {}^{4}\mathrm{He} é repelido pelo núcleo de {}^{234}\mathrm{Th}.

Passo 4

Calcular a aceleração do núcleo de {}^{4}\mathrm{He} usando a segunda lei de Newton.
A segunda lei de Newton diz:
\vec{F} = m\vec{a}\quad\Rightarrow\quad a=\frac{F}{m},
onde
  • \,m é a massa do corpo (aqui, do núcleo de {}^{4}\mathrm{He}),
  • \,a é a magnitude da aceleração (em \mathrm{m/s^{2}}).
Preciso de um valor para a massa do núcleo de {}^{4}\mathrm{He}. Um valor usualmente empregado é cerca de \,m_{\alpha}\approx6{,}64\times10^{-27}\\ \mathrm{kg} (massa da partícula \alpha, que é o núcleo de {}^{4}\mathrm{He}). Vou usar este valor.
Agora:
a=\frac{F}{m_{\alpha}}=\frac{5{,}138\times10^{2}\\ \mathrm{N}}{6{,}64\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}}.
Faço a divisão:
a \approx \frac{5{,}138}{6{,}64}\times10^{2+27} \approx0{,}7735\times10^{29}=7{,}735\times10^{28}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma compatível com as cifras de r:
a \approx 7{,}7\times10^{28}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Resumo físico rápido (para gravar na cabeça): a força elétrica entre os núcleos, mesmo separados por uma distância nuclear tão pequena, é enorme (centenas de newtons), e por causa da massa muito pequena da partícula \alpha isso gera uma aceleração gigantesca (ordem de 10^{28}\\ \mathrm{m/s^{2}}), o que explica por que a partícula é ejetada rapidamente no decaimento alfa. Força é de repulsão (direção: o {}^{4}\mathrm{He} é afastado do {}^{234}\mathrm{Th}).

Resposta

(a) F \approx 5{,}1\times10^{2}\\ \mathrm{N}
(b) a \approx 7{,}7\times10^{28}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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