1.66 Sejam u e v dois vetore tais que |u|=4 e |v|=3. Se o ângulo entre u e v e entre u+v e u-v é alpha, calcule cos alpha.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores u e v com |u|=4, |v|=3, e que o ângulo entre u e v e o ângulo entre u+v e u-v são ambos iguais a alpha. Queremos calcular cosalpha. Para isso, vamos usar o produto escalar e as fórmulas de norma em termos de produto escalar.

Passo 2

O produto escalar entre u e v é
ucdotv ;=;|u|;|v|;cosalpha ;=;4cdot3;cosalpha ;=;12,cosalpha

Passo 3

O produto escalar entre u+v e u-v é
(u+v)cdot(u-v) =|u|^2-|v|^2 =16-9 =7

Passo 4

Agora calculamos as normas de u+v e u-v:
|u+v|^2 =|u|^2+|v|^2+2,ucdotv =16+9+2cdot12cosalpha =25+24cosalpha,
|u-v|^2 =16+9-2cdot12cosalpha =25-24cosalpha

Passo 5

Pela definição de cosseno entre u+v e u-v temos
cosalpha =(u+v)cdot(u-v) |u+v|;|u-v| =7raiz25+24cosalpha;raiz25-24cosalpha =7raiz625-576cos^2alpha

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por raiz625-576cos^2alpha e elevando ao quadrado, obtemos
cos^2alpha,(625-576cos^2alpha)=49
Seja x=cos^2alpha. A equação vira
576,x^2-625,x+49=0
O discriminante é De<a=625^2-4cdot576cdot49=277729=(527)^2, então
x=625pm5272cdot576 Longrightarrow x1=1, x2=49576

Passo 7

A solução x1=1 leva a alpha=0 ou alpha=pi, caso trivial. O caso não trivial é
cos^2alpha=tfrac49576 Longrightarrow cosalpha=724
(considerando o ângulo entre vetores no intervalo [0,pi] e buscando a solução aguda).

Resposta

cosalpha=724

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