1.66 Sejam
e
dois vetore tais que
e
. Se o ângulo entre
e
e entre
é
, calcule
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois vetores
e
com
,
, e que o ângulo entre
e
e o ângulo entre
e
são ambos iguais a
. Queremos calcular
. Para isso, vamos usar o produto escalar e as fórmulas de norma em termos de produto escalar.
Passo 2
O produto escalar entre
e
é
Passo 3
O produto escalar entre
e
é
Passo 4
Agora calculamos as normas de
e
:
Passo 5
Pela definição de cosseno entre
e
temos
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
e elevando ao quadrado, obtemos
Seja
. A equação vira
O discriminante é
, então
Passo 7
A solução
leva a
ou
, caso trivial. O caso não trivial é
(considerando o ângulo entre vetores no intervalo
e buscando a solução aguda).