1.67 Se u, v e w são vetores unitários tais que u+v+w=0, mostre que u cdot v+u cdot w+v cdot w=-3 / 2.

Passo 1

O enunciado diz que u,v,w são vetores unitários, isto é, |u|=|v|=|w|=1, e satisfazem
u+v+w=0.
Queremos mostrar que
ucdot v+ucdot w+vcdot w=-tfrac32
Vamos usar a bilinearidade do produto escalar e a relação entre produto escalar e norma ao quadrado.

Passo 2

Como u+v+w=0, o produto escalar desse vetor consigo mesmo é zero:
(u+v+w)cdot(u+v+w)=0

Passo 3

Expandindo pelo fato de o produto escalar ser bilinear, obtemos
(u+v+w)cdot(u+v+w) =|u|^2+|v|^2+|w|^2 +2l(ucdotv+ucdotw+vcdotwr)

Passo 4

Como cada vetor é unitário, temos |u|^2=|v|^2=|w|^2=1. Substituindo na expansão:
0 = 1 + 1 + 1 + 2l(ucdotv+ucdotw+vcdotwr) =3+2l(ucdotv+ucdotw+vcdotwr)

Passo 5

Isolando a soma dos produtos escalares:
2l(ucdotv+ucdotw+vcdotwr)=-3 Longrightarrow ucdot v+ucdot w+vcdot w=-tfrac32

Resposta

ucdot v+ucdot w+vcdot w=-tfrac32

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