• 2.66 Um tanque aberto de decantação contém uma suspensão líquida que apresenta peso específico em função da altura de acordo com a seguinte tabela:
\boldsymbol{h}(\mathbf{m}) \gamma\left(\mathbf{k N} / \mathbf{m}^{\mathbf{3}}\right)
0 10,0
0,4 10,1
0,8 10,2
1,2 10,6
1,6 11,3
2,0 12,3
2,4 12,7
2,8 12,9
3,2 13,0
3,6 13,1
A profundidade h=0 corresponde a superfície livre da suspensão. Determine, utilizando uma integração numérica, o módulo e a localização da força resultante que atua numa superfície vertical do tanque que apresenta 6 m de comprimento. A profundidade do fluido no tanque é 3,6 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com profundidade H=3,6\,\mathrm{m} e largura (no sentido perpendicular ao plano) W=6\,\mathrm{m}. A suspensão tem peso específico variável com a profundidade h, dado por uma tabela de valores \gamma(h). Precisamos calcular a força resultante hidrostática F atuando na parede vertical e a profundidade y_R (medida a partir da superfície livre) onde essa força pode ser considerada aplicada. Vamos usar a definição de pressão hidrostática local
p(h)=\gamma(h)\,h
e integrar numericamente para obter
F = \int_{0}^{H} p(h)\,W\,\mathrm{d}h \quad\text{e}\quad y_R = \frac{1}{F}\int_{0}^{H} h\,p(h)\,W\,\mathrm{d}h.

Passo 2

Definindo as funções a integrar, tomamos
f_1(h)=\gamma(h)\,h, \quad f_2(h)=\gamma(h)\,h^2,
de modo que
F = W\int_{0}^{H}f_1(h)\,\mathrm{d}h, \quad M_O = W\int_{0}^{H}f_2(h)\,\mathrm{d}h, \quad y_R=\frac{M_O}{F}.

Passo 3

Aplicamos a regra do trapézio com passo uniforme \Delta h=0,4\,\mathrm{m} usando os pontos da tabela de \gamma(h). Calculamos os valores de f_1(h_i) e f_2(h_i) em cada h_i e depois:
\int_{0}^{H}f_1(h)\,\mathrm{d}h \approx \Delta h\Bigl[\tfrac12f_1(h_0)+\sum_{i=1}^{n-1}f_1(h_i)+\tfrac12f_1(h_n)\Bigr] =0,4\bigl[23,58+175,80\bigr]=79,752
\int_{0}^{H}f_2(h)\,\mathrm{d}h \approx 0,4\bigl[\tfrac12f_2(h_0)+\sum_{i=1}^{n-1}f_2(h_i)+\tfrac12f_2(h_n)\bigr] =0,4\bigl[84,888+408,944\bigr]=197,533

Passo 4

Com esses valores vem
F = W\cdot79{,}752 = 6\times79{,}752 = 478{,}51\\ \mathrm{kN},
M_O = W\cdot197{,}533 = 6\times197{,}533 = 1\,185{,}20\\ \mathrm{kN\cdot m},
y_R = \frac{M_O}{F} = \frac{1\,185{,}20}{478{,}51}\approx2{,}48\\ \mathrm{m}.

Resposta

A força resultante vale aproximadamente
F = 478{,}5\\ \mathrm{kN},
e sua linha de ação está a
y_R = 2{,}48\\ \mathrm{m}
abaixo da superfície livre.

Exercícios relacionados