Duas placas planas horizontais planas com água entre elas estão separadas por uma distância de 2 y_{0}. A placa superior se move com uma velocidade V_{1}=2 \mathrm{~V}, enquanto a placa inferior se move com V_{2}=-\mathrm{V}. Não há variação de pressão na direção do escoamento. Suponha regime permanente e escoamento laminar, plenamente desenvolvido.
a. Há movimento do fluido entre as placas? Se sim, explique como se dá esse movimento.
b. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
c. Diga quais das componentes de velocidade são iguais ou diferentes de zero, a partir das considerações no item b. Para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo (de acordo com o que você adotou) elas variam.
d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva também as condições de contorno.
e. Encontre a equação que descreve o perfil de velocidades do escoamento entre as placas.
f. Desenhe a distribuição de velocidade entre as placas.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de Couette entre duas placas planas horizontais separadas por uma distância 2y_{0}. A placa superior, em y=+y_{0}, move-se com velocidade V_{1}=2V no eixo x, e a placa inferior, em y=-y_{0}, move-se com V_{2}=-V. Supondo regime permanente, laminar, plenamente desenvolvido e sem variação de pressão ao longo do escoamento, queremos estudar o perfil de velocidades do fluido (água) entre as placas.

Passo 2

a. Sim, há movimento do fluido: devido ao arraste viscoso das placas, forma-se um escoamento onde a velocidade do fluido varia linearmente entre \,V_{2}=-V em y=-y_{0} e \,V_{1}=2V em y=+y_{0}. Esse escoamento é chamado de Couette flow.

Passo 3

b. As hipóteses necessárias são:
1. Escoamento permanente (sem variação temporal).
2. Laminar e plenamente desenvolvido (variáveis só dependem de y).
3. Fluido incompressível ( \rho= constante).
4. Fluido Newtoniano com viscosidade dinâmica \mu constante.
5. Ausência de variação de pressão na direção x ( \partial p/\partial x=0).
6. Placas ideais e infinitas em x e z (despreza efeitos de borda).
7. Forças de corpo (peso, gravidade) desprezíveis ou balanceadas.

Passo 4

c. Pelo plenamente desenvolvido e sem variação nas outras direções, as componentes de velocidade são
u=u(y),\quad v=0,\quad w=0,
ou seja, só há velocidade na direção x e ela varia apenas em função de y.

Passo 5

d. A equação da continuidade para escoamento incompressível é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Como u=u(y), v=w=0, todas as derivadas são zero e a continuidade está satisfeita.
As equações de Navier–Stokes em regime permanente são, em x:
\rho\Bigl(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr) =-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\Bigl(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Bigr).
Desprezamos:
  • termos convectivos ( u\partial u/\partial x=0, etc.) porque não há variação em x,z;
  • \partial p/\partial x=0 por enunciado;
  • derivadas em x,z na difusão por escoamento plenamente desenvolvido.
    Resta
0 = \mu\,\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2}.
Condições de contorno:
u(-y_{0})=-V,\quad u(+y_{0})=2V.

Passo 6

e. Integrando duas vezes \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2}=0 obtém-se
u(y)=A\,y + B.
Das condições de contorno:
A\,(-y_{0})+B=-V,\quad A\,(+y_{0})+B=2V
subtraindo,
2A\,y_{0}=3V\quad\Longrightarrow\quad A=\frac{3V}{2y_{0}},
e então
B=2V - A\,y_{0}=2V-\frac{3V}{2}= \frac{V}{2}.
Logo o perfil de velocidades é
u(y)=\frac{3V}{2y_{0}}\,y+\frac{V}{2}.

Passo 7

f. A distribuição de u(y) é uma reta que em y=-y_{0} vale -V e cresce linearmente até u(y_{0})=2V. Graficamente:
\begin{array}{rcl} \text{u} & & \\\ \uparrow & & \text{(2V)} \\\ & & \bullet \\\ & & / \\\ & & / \\\ & & / \\\ & & / \\\ & & / \\\ & & / \\\ & & / \\\ & & \bullet \\\ & & \text{(-V)} \\\ & & \\\ & & + \longrightarrow y \\\ & & -y_{0} \quad +y_{0} \end{array}

Resposta

O perfil de velocidades é
u(y)=\frac{3V}{2y_{0}}\,y+\frac{V}{2},\quad v=0,\quad w=0,
variando linearmente em y entre u(-y_{0})=-V e u(+y_{0})=2V.

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