Duas placas planas horizontais planas com água entre elas estão separadas por uma distância de
. A placa superior se move com uma velocidade
, enquanto a placa inferior se move com
. Não há variação de pressão na direção do escoamento. Suponha regime permanente e escoamento laminar, plenamente desenvolvido.
a. Há movimento do fluido entre as placas? Se sim, explique como se dá esse movimento.
b. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
c. Diga quais das componentes de velocidade são iguais ou diferentes de zero, a partir das considerações no item b. Para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo (de acordo com o que você adotou) elas variam.
d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva também as condições de contorno.
e. Encontre a equação que descreve o perfil de velocidades do escoamento entre as placas.
f. Desenhe a distribuição de velocidade entre as placas.
a. Há movimento do fluido entre as placas? Se sim, explique como se dá esse movimento.
b. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
c. Diga quais das componentes de velocidade são iguais ou diferentes de zero, a partir das considerações no item b. Para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo (de acordo com o que você adotou) elas variam.
d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva também as condições de contorno.
e. Encontre a equação que descreve o perfil de velocidades do escoamento entre as placas.
f. Desenhe a distribuição de velocidade entre as placas.
Passo 1
O enunciado descreve um escoamento de Couette entre duas placas planas horizontais separadas por uma distância
. A placa superior, em
, move-se com velocidade
no eixo
, e a placa inferior, em
, move-se com
. Supondo regime permanente, laminar, plenamente desenvolvido e sem variação de pressão ao longo do escoamento, queremos estudar o perfil de velocidades do fluido (água) entre as placas.
Passo 2
a. Sim, há movimento do fluido: devido ao arraste viscoso das placas, forma-se um escoamento onde a velocidade do fluido varia linearmente entre
em
e
em
. Esse escoamento é chamado de Couette flow.
Passo 3
b. As hipóteses necessárias são:
. Escoamento permanente (sem variação temporal).
. Laminar e plenamente desenvolvido (variáveis só dependem de
).
. Fluido incompressível (
constante).
. Fluido Newtoniano com viscosidade dinâmica
constante.
. Ausência de variação de pressão na direção
(
).
. Placas ideais e infinitas em
e
(despreza efeitos de borda).
. Forças de corpo (peso, gravidade) desprezíveis ou balanceadas.
Passo 4
c. Pelo plenamente desenvolvido e sem variação nas outras direções, as componentes de velocidade são
ou seja, só há velocidade na direção
e ela varia apenas em função de
.
Passo 5
d. A equação da continuidade para escoamento incompressível é
Como
,
, todas as derivadas são zero e a continuidade está satisfeita.
As equações de Navier–Stokes em regime permanente são, em
:
Desprezamos:
- termos convectivos (
, etc.) porque não há variação em ; -
por enunciado; - derivadas em
na difusão por escoamento plenamente desenvolvido.
Resta
Condições de contorno:
Passo 6
e. Integrando duas vezes
obtém-se
Das condições de contorno:
subtraindo,
e então
Logo o perfil de velocidades é
Passo 7
f. A distribuição de
é uma reta que em
vale
e cresce linearmente até
. Graficamente:
Resposta
O perfil de velocidades é
variando linearmente em
entre
e
.