Duas placas planas horizontais com água entre elas estão separadas por uma distância y_{0}. A placa inferior está parada, enquanto a placa superior se move com velocidade V. Não há variação de pressão na direção do escoamento. Suponha regime permanente e escoamento laminar, regime plenamente desenvolvido.
a. Explique por que, mesmo não havendo diferença de pressão, existe deslocamento do fluido entre as placas.
b. Enumere as possíveis hipóteses apresentadas no enunciado do problema e mais as hipóteses necessárias para a utilização das equações de Navier-Stokes (Dica: 6 a 7 hipóteses).
c. Diga quais das componentes de velocidade são iguais ou diferentes de zero, a partir das considerações no item b. Para as componentes diferentes de zero, diga com qual eixo (de acordo com o que você adotou) elas variam.
d. Escreva a equação da continuidade e as equações de Navier-Stokes e explique por que cada termo é considerado ou desconsiderado. Escreva também as condições de contorno.
e. Encontre a equação que descreve o perfil de velocidades do escoamento entre as placas.
f. Desenhe a distribuição de velocidade entre as placas

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento de Couette entre duas placas paralelas horizontais separadas por y_{0}. A placa de baixo está fixa e a de cima desloca-se com velocidade V. Não há variação de pressão no sentido do escoamento. Vamos usar as equações de Navier–Stokes para fluido newtoniano, regime permanente, incompressível e plenamente desenvolvido, a fim de obter o perfil de velocidades u(y).

Passo 2

Para responder por que, mesmo sem diferença de pressão, há movimento do fluido, note que a placa superior em movimento “arrasta” a camada adjacente do fluido por atrito viscoso. Esse esforço de cisalhamento (tensão de corte) é transmitido, via viscosidade, de camada em camada até a placa fixa, fazendo com que todo o fluido se desloque.

Passo 3

As hipóteses necessárias são:
1. Escoamento laminar e plenamente desenvolvido, de modo que o perfil de velocidades não varia em x.
2. Regime permanente, \partial/\partial t=0.
3. Fluido incompressível, densidade \rho constante e \nabla\cdot\mathbf{v}=0.
4. Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu constante.
5. Ausência de gradiente de pressão na direção x, isto é, \partial p/\partial x=0.
6. Forças de corpo desprezíveis (ou somente peso equilibrado por pressão hidrostática independente de x).
7. Dependência de campo de velocidade apenas na coordenada y ( \partial/\partial x=\partial/\partial z=0).

Passo 4

Pelas hipóteses, as componentes de velocidade são
\;u=u(y),
\;v=0,
\;w=0.
Logo, o único componente não nulo é u, que varia apenas com y.

Passo 5

Escrevemos primeiro a continuidade e depois as Navier–Stokes:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0
Torna-se
0 + 0 + 0 = 0,
já satisfeito.
Eixo x:
\rho\Bigl(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}\Bigr) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
Por hipótese: u\partial u/\partial x=0, v=w=0, \partial p/\partial x=0. Logo
\mu\,\frac{d^2 u}{dy^2} = 0.
Eixo y:
0 = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y,
mas ou g_y é equilibrado por variação hidrostática independente de x, ou desprezamos corpo de prova. Não entra no perfil.
Eixo z é trivial, sem variações.
Condições de contorno:
u(0)=0,\quad u(y_{0})=V.

Passo 6

Integramos
\frac{d^2 u}{dy^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dy} = C_{1}, \quad u(y)=C_{1}y + C_{2}.
Usando u(0)=0\Rightarrow C_{2}=0 e u(y_{0})=V\Rightarrow C_{1}=\tfrac{V}{y_{0}}. Portanto
u(y) = \frac{V}{y_{0}}\,y.

Passo 7

O perfil u(y) é uma reta que cresce linearmente de u=0 em y=0 até u=V em y=y_{0}.
Esboço (eixo vertical u, horizontal y):
\begin{array}{c} u \\\ | \quad\diagup\\\ | \diagup \\\ | \diagup \\\ |________\diagup________ y\\\\ 0 y_{0} \end{array}

Resposta

a. Porque a placa em movimento aplica esforço de cisalhamento e a viscosidade transmite esse esforço às camadas do fluido, gerando deslocamento mesmo sem \Delta p.
b. 1. Escoamento laminar e plenamente desenvolvido / 2. Permanente / 3. Incompressível / 4. Newtoniano / 5. \partial p/\partial x=0 / 6. Sem forças de corpo em x / 7. u=u(y) apenas.
c. \;u\neq0 varia com y; \;v=0, \;w=0.
d. Continuidade: \nabla\cdot\mathbf{v}=0. NS em x: \mu\,d^2u/dy^2=0. Despreza-se inércia convectiva, pressão e corpo em x. BC: u(0)=0, u(y_{0})=V.
e. u(y)=\dfrac{V}{y_{0}}\,y.
f. Perfil linear de 0 a V conforme esboço acima.

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