66 Um tanque de comprimento " L " e altura " h " é enchido ao máximo com um líquido de densidade "
“, e se move com aceleração "
" na direção horizontal, determine a diferença de pressão entre os pontos "
" e B”. (aceleração da gravidade g)
Passo 1
O enunciado pede a diferença de pressão entre os pontos
e
num tanque cheio de líquido de densidade
, de comprimento
(horizontal) e altura
(vertical). O tanque se move com aceleração horizontal
para a direita; a gravidade é
para baixo. Pela figura (peguei as posições da imagem), o ponto
está no canto inferior esquerdo (posição horizontal
, altura
) e o ponto
está no canto superior direito (posição
, altura
). Vou apresentar a diferença de pressão no formato
(pressão em
menos pressão em
).
Passo 2
Conceito físico importante (aula rápida): num referencial acelerado que acompanha o tanque, o fluido está em equilíbrio estático sujeito a uma “aceleração efetiva” que é a soma da gravidade e da aceleração fictícia (inercial). Essa aceleração efetiva atua como se fosse a gravidade do problema e determina o gradiente de pressão por
Explicando:
é o vetor gradiente de pressão (mostra como a pressão muda com
),
é a densidade do líquido e
é o vetor aceleração que actua sobre cada unidade de massa.
Passo 3
Escolhemos um sistema de coordenadas com origem em
: eixo
positivo para a direita e eixo
positivo para cima. A gravidade é
. A aceleração do referencial (tanque) é
para a direita; a força fictícia por unidade de massa é
(aponta para a esquerda). Assim a aceleração efetiva é
Passo 4
Com
temos para os componentes do gradiente de pressão:
Isto significa que, ao avançar
para a direita a pressão varia em
e, ao subir
, a pressão varia em
.
Passo 5
Como o campo de aceleração efetiva é constante, a diferença de pressão entre dois pontos independe do caminho. Integramos a variação de
do ponto
até
. Usando diferencial total:
Integramos ao longo de um caminho simples (por exemplo primeiro em
depois em
):
Passo 6
Calculando as integrais:
Portanto