66 Um tanque de comprimento " L " e altura " h " é enchido ao máximo com um líquido de densidade " \mathrm{\rho} “, e se move com aceleração " a " na direção horizontal, determine a diferença de pressão entre os pontos " A " e B”. (aceleração da gravidade g)

Passo 1

O enunciado pede a diferença de pressão entre os pontos A e B num tanque cheio de líquido de densidade \rho, de comprimento L (horizontal) e altura h (vertical). O tanque se move com aceleração horizontal a para a direita; a gravidade é g para baixo. Pela figura (peguei as posições da imagem), o ponto A está no canto inferior esquerdo (posição horizontal x=0, altura y=0) e o ponto B está no canto superior direito (posição x=L, altura y=h). Vou apresentar a diferença de pressão no formato p_A-p_B (pressão em A menos pressão em B).

Passo 2

Conceito físico importante (aula rápida): num referencial acelerado que acompanha o tanque, o fluido está em equilíbrio estático sujeito a uma “aceleração efetiva” que é a soma da gravidade e da aceleração fictícia (inercial). Essa aceleração efetiva atua como se fosse a gravidade do problema e determina o gradiente de pressão por
\nabla p=\rho\,\mathbf{g}_{\text{efetivo}}.
Explicando: \nabla p é o vetor gradiente de pressão (mostra como a pressão muda com x,y), \rho é a densidade do líquido e \mathbf{g}_{\text{efetivo}} é o vetor aceleração que actua sobre cada unidade de massa.

Passo 3

Escolhemos um sistema de coordenadas com origem em A: eixo x positivo para a direita e eixo y positivo para cima. A gravidade é \mathbf{g}=(0,-g). A aceleração do referencial (tanque) é \mathbf{a}=(a,0) para a direita; a força fictícia por unidade de massa é -\mathbf{a}=(-a,0) (aponta para a esquerda). Assim a aceleração efetiva é
\mathbf{g}_{\text{efetivo}}=\mathbf{g}-\mathbf{a}=(-a,-g).

Passo 4

Com \mathbf{g}_{\text{efetivo}}=(-a,-g) temos para os componentes do gradiente de pressão:
\frac{\partial p}{\partial x}=\rho(-a)=-\rho a, \qquad \frac{\partial p}{\partial y}=\rho(-g)=-\rho g.
Isto significa que, ao avançar \Delta x para a direita a pressão varia em -\rho a\,\Delta x e, ao subir \Delta y, a pressão varia em -\rho g\,\Delta y.

Passo 5

Como o campo de aceleração efetiva é constante, a diferença de pressão entre dois pontos independe do caminho. Integramos a variação de p do ponto A(0,0) até B(L,h). Usando diferencial total:
dp = \frac{\partial p}{\partial x}\,dx + \frac{\partial p}{\partial y}\,dy = -\rho a\,dx -\rho g\,dy.
Integramos ao longo de um caminho simples (por exemplo primeiro em x depois em y):
p_B-p_A=\int_{A}^{B} dp = \int_{0}^{L}(-\rho a)\,dx + \int_{0}^{h}(-\rho g)\,dy.

Passo 6

Calculando as integrais:
p_B-p_A = -\rho a \,L \;-\; \rho g\, h = -\rho\bigl(aL + g h\bigr).
Portanto
p_A-p_B = \rho\bigl(aL + g h\bigr).

Resposta

p_A-p_B=\rho\,(g h + a L)

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