67-70 Descreva as superfícies de nível da função.
g(x, y, z)=x+y^2-z^2

Passo 1

O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função g(x,y,z)=x+y^2-z^2. O conteúdo é superfícies de nível de funções de três variáveis, e vamos precisar usar a definição g(x,y,z)=c para um parâmetro c constante.

Passo 2

Por definição, a superfície de nível correspondente ao valor c é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
x+y^2-z^2=c
Isolando x na equação acima, obtemos
x=c-y^2+z^2

Passo 3

Essa é a equação padrão de um paraboloide hiperbólico (saddle): há um termo quadrático positivo em z e negativo em y, o que gera a curvatura oposta nas duas direções.
Portanto, para cada valor de c, a superfície de nível g(x,y,z)=c é um paraboloide hiperbólico deslocado ao longo do eixo x.

Resposta

As superfícies de nível de g são paraboloides hiperbólicos dados por x=c-y^2+z^2, uma família de saddles deslocados no eixo x.

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