Nos exercícios 80 a 89 , assumindo que x, y e z são números positivos, use as propriedades de logaritmos para escrever a expressão como um único logaritmo.
4 log (x y)-3 log (y z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão 4 log (x y) - 3 log (y z) e escrever tudo como um único logaritmo. Para isso, vamos precisar conhecer algumas regras básicas dos logaritmos, como a regra do coeficiente e a regra da diferença de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com os números que estão na frente dos logaritmos, que são os 4 e o 3. Tem uma propriedade dos logaritmos que diz que um coeficiente na frente do log pode virar um expoente dentro do logaritmo. Isso é chamado de regra do coeficiente.
Então, aplicando essa regra:
4 log (x y) = log (x y)^4 3 log (y z) = log (y z)^3

Passo 3

Agora, nossa expressão ficou assim:
log (x y)^4 - log (y z)^3
A próxima coisa que vamos usar é a regra da diferença de logaritmos, que diz que quando temos a subtração de dois logaritmos com a mesma base, podemos transformar isso em um único logaritmo de um quociente.
Ou seja:
log A - log B = log ( AB )
Aplicando essa regra na nossa expressão:
log (x y)^4 - log (y z)^3 = log ( (x y)^4(y z)^3 )

Passo 4

Agora, só precisamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
(x y)^4(y z)^3
Podemos expandir os termos:
(x y)^4 = x^4 y^4 (y z)^3 = y^3 z^3
Então, substituindo na fração:
x^4 y^4y^3 z^3 = x^4 y^4-3 z^-3 = x^4 y z^-3

Passo 5

Finalmente, colocando tudo de volta no logaritmo:
log ( (x y)^4(y z)^3 ) = log (x^4 y z^-3)

Resposta

A expressão 4 log (x y) - 3 log (y z) escrita como um único logaritmo é:
log (x^4 y z^-3)

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