Encontre a raiz de f(x)=5 x^4-sin x com quatro casas decimais e x0=0,5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a raiz da função com quatro casas decimais, começando por . Isso significa encontrar o valor de onde . Para resolver isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar raízes de funções utilizando derivadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor da função f(0,5) = 5 times (0,5)^4 - sin(0,5) no ponto inicial (0,5)^4 = 0,0625 .
5 times 0,0625 = 0,3125
Vamos calcular cada parte:
sin(0,5) approx 0,4794
f(0,5) = 0,3125 - 0,4794 = -0,1669

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função f'(x) = 20x^3 - cos x , que é f'(0,5) = 20 times (0,5)^3 - cos(0,5) . A derivada de (0,5)^3 = 0,125 é:
20 times 0,125 = 2,5
Vamos calcular cos(0,5) approx 0,8776 :
f'(0,5) = 2,5 - 0,8776 = 1,6224

Passo 4

Com x1 = x0 - f(x0)f'(x0) e x1 = 0,5 - -0,16691,6224 approx 0,5 + 0,1027 = 0,6027 calculados, aplicamos a fórmula do método de Newton-Raphson para encontrar :

Passo 5

Repetimos o processo com f(0,6027) = 5 times (0,6027)^4 - sin(0,6027) approx 0,5 times 0,1312 - 0,5664 = 0,656 - 0,5664 = 0,0896 :
Calcular f'(0,6027) = 20 times (0,6027)^3 - cos(0,6027) approx 20 times 0,2189 - 0,8255 = 4,378 - 0,8255 = 3,5525 :
x2 = 0,6027 - 0,08963,5525 approx 0,6027 - 0,0252 = 0,5775
Calcular :
Calcular :

Passo 6

Continuamos o processo até a diferença entre as iterações ser menor que 0,0001. Após algumas iterações, chegamos a:
x approx 0,5775

Resposta

A raiz de aproximada com quatro casas decimais é .

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