• 67 Uma esfera metálica de 15 cm de raio possui uma carga de 3,0 \times 10^{-8} \mathrm{C}. (a) Qual é o campo elétrico na superficie da esfera? (b) Se V=0 no infinito, qual é o potencial elétrico na superfície da esfera? (c) A que distância da superfície da esfera o potencial é 500 V menor que na superfície da esfera?

Passo 1

O enunciado dá uma esfera metálica isolada de raio R=0,15\\ \mathrm{m} carregada com Q=3{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{C}. Como é condutor, fora dela o campo e o potencial coincidem com os de uma carga puntiforme em seu centro. Vamos usar Gauss para E e a definição
V(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r}
com V(\infty)=0 para o potencial.

Passo 2

Para o campo na superfície usamos Gauss ou diretamente
E(R)=k\,\frac{Q}{R^2},
onde k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx8{,}99\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}. Substituindo,
E(0,15)=8{,}99\times10^9\cdot\frac{3{,}0\times10^{-8}}{(0,15)^2} \approx1{,}2\times10^4\\ \mathrm{N/C}.

Passo 3

Para o potencial na superfície basta
V(R)=k\,\frac{Q}{R} =8{,}99\times10^9\cdot\frac{3{,}0\times10^{-8}}{0,15} \approx1{,}8\times10^3\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Queremos a distância d além da superfície onde
V(R+d)=V(R)-500\\ \mathrm{V}.
Como V(r)=kQ/r, temos
\frac{kQ}{R+d}=\frac{kQ}{R}-500 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{R+d}=\frac{1}{R}-\frac{500}{kQ}.
Logo
R+d=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}-\frac{500}{kQ}} \quad\Longrightarrow\quad d=\frac{1}{\frac{1}{R}-\frac{500}{kQ}}-R.
Numericamente, com kQ=8{,}99\times10^9\cdot3{,}0\times10^{-8}=269{,}7\\ \mathrm{V\cdot m},
\frac{1}{R}-\frac{500}{kQ} =\frac{1}{0,15}-\frac{500}{269{,}7}\approx6{,}667-1{,}855=4{,}812\\ \mathrm{m^{-1}},
R+d=\frac{1}{4{,}812}\approx0,2078\\ \mathrm{m} \quad\Longrightarrow\quad d\approx0,2078-0,15=0,0578\\ \mathrm{m}\approx5{,}8\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) E_{\text{superf}} \approx1{,}2\times10^4\\ \mathrm{N/C}.
(b) V_{\text{superf}} \approx1{,}8\times10^3\\ \mathrm{V}.
(c) d\approx5{,}8\\ \mathrm{cm}.

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