2.67 Uma força atua na origem e na direção definida pelos ângulos
. Sabendo que a componente
da força é -750 N , determine
os outros componentes e a intensidade da força, e (b) o valor de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
- Informações dadas:
- A força atua na origem e tem direção definida pelos ângulos
e . - A componente
da força é , ou seja
- A força atua na origem e tem direção definida pelos ângulos
- Perguntas:
- (a) Determinar as outras componentes
e e a intensidade da força. - (b) Determinar o valor de
.
- (a) Determinar as outras componentes
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): direção de um vetor e cossenos diretores.
Seja o vetor força e
sua intensidade. Os ângulos
são os ângulos entre
e os eixos
. Valem as identidades:
Seja
Ou seja, cada componente é a intensidade vezes o cosseno do ângulo com o eixo correspondente. Como consequência direta,
porque dividindo
por
obtemos um vetor unitário cuja soma dos quadrados das componentes é
. Vou usar isso para achar
a partir de
e
.
Passo 3
Calcular os cossenos conhecidos (pegando os ângulos do enunciado):
Agora calculamos valores numéricos (uso aproximação com quatro casas decimais para ficar claro):
Agora os quadrados:
Passo 4
Usar a identidade das somas dos quadrados para obter
:
Substituindo os números:
Tomando raiz quadrada,
Precisamos escolher o sinal. Lembre que
. Como foi dado
(negativo), o produto
deve ser negativo, e
é positivo, logo
deve ser negativo. Portanto:
Passo 5
Agora achamos a intensidade
usando
. Isolando
:
Substituindo
e
:
Interpretação: a intensidade é positiva e vale aproximadamente
Passo 6
Com
em mãos, calculamos
e
pelas fórmulas
Substituindo valores:
Sinal: ambos positivos porque os cossenos de
e
são positivos.
Passo 7
Finalmente, encontramos
. Já temos
, então
Compute (em graus):
Observação: como
é negativo, o ângulo fica maior que
, o que condiz com
negativo.
Resposta
(a)
(a)
(a)
(b)
(a)
(a)
(b)