2.67 Uma força atua na origem e na direção definida pelos ângulos \theta_{y}=65^{\circ} \mathrm{e} \theta_{z}=40^{\circ}. Sabendo que a componente x da força é -750 N , determine (a) os outros componentes e a intensidade da força, e (b) o valor de \theta_{x}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas claras:
  • Informações dadas:
    • A força atua na origem e tem direção definida pelos ângulos \theta_{y}=65^\circ e \theta_{z}=40^\circ.
    • A componente x da força é -750\\ \text{N}, ou seja \;F_x = -750\\ \text{N}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar as outras componentes F_y e F_z e a intensidade |F| da força.
    • (b) Determinar o valor de \theta_{x}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): direção de um vetor e cossenos diretores.
Seja \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) o vetor força e |F| sua intensidade. Os ângulos \theta_x,\theta_y,\theta_z são os ângulos entre \mathbf{F} e os eixos x,y,z. Valem as identidades:
\frac{F_x}{|F|}=\cos\theta_x,\qquad \frac{F_y}{|F|}=\cos\theta_y,\qquad \frac{F_z}{|F|}=\cos\theta_z.
Ou seja, cada componente é a intensidade vezes o cosseno do ângulo com o eixo correspondente. Como consequência direta,
\cos^2\theta_x+\cos^2\theta_y+\cos^2\theta_z=1,
porque dividindo \mathbf{F} por |F| obtemos um vetor unitário cuja soma dos quadrados das componentes é 1. Vou usar isso para achar \cos\theta_x a partir de \theta_y e \theta_z.

Passo 3

Calcular os cossenos conhecidos (pegando os ângulos do enunciado):
\cos\theta_y=\cos 65^\circ,\qquad \cos\theta_z=\cos 40^\circ.
Agora calculamos valores numéricos (uso aproximação com quatro casas decimais para ficar claro):
\cos 65^\circ \approx 0{,}422618,\qquad \cos 40^\circ \approx 0{,}766044.
Agora os quadrados:
\cos^2 65^\circ \approx (0{,}422618)^2 \approx 0{,}178606,
\cos^2 40^\circ \approx (0{,}766044)^2 \approx 0{,}586824.

Passo 4

Usar a identidade das somas dos quadrados para obter \cos\theta_x:
\cos^2\theta_x = 1 - \cos^2\theta_y - \cos^2\theta_z.
Substituindo os números:
\cos^2\theta_x \approx 1 - 0{,}178606 - 0{,}586824 = 0{,}234570.
Tomando raiz quadrada,
\cos\theta_x = \pm\sqrt{0{,}234570}\approx \pm 0{,}484356.
Precisamos escolher o sinal. Lembre que \;F_x = |F|\cos\theta_x. Como foi dado F_x=-750\\ \text{N} (negativo), o produto |F|\cos\theta_x deve ser negativo, e |F| é positivo, logo \cos\theta_x deve ser negativo. Portanto:
\cos\theta_x \approx -0{,}484356.

Passo 5

Agora achamos a intensidade |F| usando F_x = |F|\cos\theta_x. Isolando |F|:
|F|=\frac{F_x}{\cos\theta_x}.
Substituindo F_x=-750\\ \text{N} e \cos\theta_x\approx -0{,}484356:
|F| \approx \frac{-750}{-0{,}484356} \approx 1548{,}9\\ \text{N}.
Interpretação: a intensidade é positiva e vale aproximadamente \,1548{,}9\\ \text{N}.

Passo 6

Com |F| em mãos, calculamos F_y e F_z pelas fórmulas
F_y=|F|\cos\theta_y,\qquad F_z=|F|\cos\theta_z.
Substituindo valores:
F_y \approx 1548{,}9\times 0{,}422618 \approx 654{,}6\\ \text{N},
F_z \approx 1548{,}9\times 0{,}766044 \approx 1186{,}5\\ \text{N}.
Sinal: ambos positivos porque os cossenos de 65^\circ e 40^\circ são positivos.

Passo 7

Finalmente, encontramos \theta_x. Já temos \cos\theta_x\approx -0{,}484356, então
\theta_x = \operatorname{arccos}(\cos\theta_x) = \operatorname{arccos}(-0{,}484356).
Compute (em graus):
\theta_x \approx 119{,}0^\circ.
Observação: como \cos\theta_x é negativo, o ângulo fica maior que 90^\circ, o que condiz com F_x negativo.

Resposta

(a) F_y \approx 654{,}6\\ \text{N}
(a) F_z \approx 1186{,}5\\ \text{N}
(a) |F| \approx 1548{,}9\\ \text{N}
(b) \theta_{x} \approx 119{,}0^\circ

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