67 Tem-se três cilindros de secções transversais iguais de cobre, latão e aço, cujos comprimentos são, respectivamente, 46 \mathrm{~cm}, 13 \mathrm{~cm} e 12 cm . Soldam-se os cilindros, formando o perfil em Y, indicado na figura. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a 100^{\circ} \mathrm{C} e dos cilindros de latão e aço, a 0^{\circ} \mathrm{C}. Supor que a superfície lateral dos cilindros esteja isolada termicamente. As condutividades térmicas do cobre, latão e aço valem, respectivamente, 0,92,0,26 e 0,12 , expressas em cal cm \mathrm{cm}^{-1} \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{C}^{-1}. No regime estacionário de condução, qual a temperatura na junção?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei os comprimentos e as temperaturas finais indicados na figura fornecida.
  • Três cilindros de mesma área de secção transversal unidos em Y, com superfícies laterais isoladas termicamente (só há condução axial).
  • Cobre: comprimento L_c=46\\ \mathrm{cm}; extremidade livre a 100^\circ\mathrm{C}.
  • Latão: comprimento L_l=13\\ \mathrm{cm}; extremidade livre a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Aço: comprimento L_s=12\\ \mathrm{cm}; extremidade livre a 0^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividades térmicas dadas: k_c=0,92, k_l=0,26, k_s=0,12 (unidades: \mathrm{cal\\ cm^{-1}\\ s^{-1}\\ ^\circ C^{-1}}).
  • O que se pede: a temperatura na junção, denotada por T_j, no regime estacionário.

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar.
  • Em regime estacionário e com laterais isoladas, o transporte de calor é unidimensional em cada barra e a distribuição de temperatura é linear ao longo de cada barra.
  • Lei da condução (forma útil para uma barra homogênea, seção A constante e queda linear de temperatura):
\dot Q = k A \frac{\Delta T}{L},
onde \dot Q é a potência térmica (cal/s) que atravessa a barra, k é a condutividade térmica, A é a área da seção transversal, \Delta T é a diferença de temperatura entre as extremidades e L é o comprimento da barra.
  • Aqui as três barras têm a mesma A, portanto A vai simplificar nas equações.

Passo 3

Expressar as taxas de calor em função de T_j.
  • Calor vindo pelo cobre (do ponto a 100^\circ\mathrm{C} para a junção a T_j):
\dot Q_c = k_c A \frac{100 - T_j}{L_c}.
  • Calor que sai da junção pelo latão (da junção a T_j para o extremo a 0^\circ\mathrm{C}):
\dot Q_l = k_l A \frac{T_j - 0}{L_l} = k_l A \frac{T_j}{L_l}.
  • Calor que sai da junção pelo aço:
\dot Q_s = k_s A \frac{T_j}{L_s}.

Passo 4

Balanço de energia na junção no regime estacionário.
  • A energia que chega pela barra de cobre deve ser igual à soma das energias que saem pelas barras de latão e aço:
\dot Q_c = \dot Q_l + \dot Q_s.
  • Substituindo as expressões e simplificando A (cancela-se dos três termos):
k_c\frac{100 - T_j}{L_c} = k_l\frac{T_j}{L_l} + k_s\frac{T_j}{L_s}.

Passo 5

Resolver a equação para T_j.
  • Desenvolvendo:
\frac{k_c\cdot 100}{L_c} - \frac{k_c T_j}{L_c} = \frac{k_l T_j}{L_l} + \frac{k_s T_j}{L_s}.
  • Agrupando os termos com T_j no lado direito:
\frac{k_c\cdot 100}{L_c} = T_j\!\left(\frac{k_c}{L_c} + \frac{k_l}{L_l} + \frac{k_s}{L_s}\right).
  • Logo:
T_j = \frac{\dfrac{k_c\cdot 100}{L_c}}{\dfrac{k_c}{L_c} + \dfrac{k_l}{L_l} + \dfrac{k_s}{L_s}}.
  • Substituindo os valores numéricos (unidades já compatíveis, comprimentos em cm):
\frac{k_c}{L_c}=\frac{0,92}{46}=0{,}02,\quad \frac{k_l}{L_l}=\frac{0,26}{13}=0{,}02,\quad \frac{k_s}{L_s}=\frac{0,12}{12}=0{,}01.
\text{denominador} = 0{,}02+0{,}02+0{,}01=0{,}05.
\text{numerador} = \frac{k_c\cdot 100}{L_c}=\frac{0,92\cdot 100}{46}=\frac{92}{46}=2.
T_j=\frac{2}{0{,}05}=40.

Passo 6

Verificação rápida (checagem da conservação de energia por unidade de área).
  • Taxas por unidade de área calculadas:
\frac{\dot Q_c}{A}=k_c\frac{100-40}{46}=0{,}92\cdot\frac{60}{46}=1{,}2\\ (\mathrm{cal\\ cm^{-2}\\ s^{-1}}),
\frac{\dot Q_l}{A}=k_l\frac{40}{13}=0{,}26\cdot\frac{40}{13}=0{,}8,
\frac{\dot Q_s}{A}=k_s\frac{40}{12}=0{,}12\cdot\frac{40}{12}=0{,}4.
  • Observa-se \frac{\dot Q_l}{A}+\frac{\dot Q_s}{A}=0{,}8+0{,}4}=1{,}2=\frac{\dot Q_c}{A}, logo a solução é consistente.

Resposta

40^\circ\mathrm{C}

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