67 Tem-se três cilindros de secções transversais iguais de cobre, latão e aço, cujos comprimentos são, respectivamente,
e 12 cm . Soldam-se os cilindros, formando o perfil em Y, indicado na figura. O extremo livre do cilindro de cobre é mantido a
e dos cilindros de latão e aço, a
. Supor que a superfície lateral dos cilindros esteja isolada termicamente. As condutividades térmicas do cobre, latão e aço valem, respectivamente,
e 0,12 , expressas em cal cm
. No regime estacionário de condução, qual a temperatura na junção?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei os comprimentos e as temperaturas finais indicados na figura fornecida.
- Três cilindros de mesma área de secção transversal unidos em Y, com superfícies laterais isoladas termicamente (só há condução axial).
- Cobre: comprimento
; extremidade livre a . - Latão: comprimento
; extremidade livre a . - Aço: comprimento
; extremidade livre a . - Condutividades térmicas dadas:
, , (unidades: ). - O que se pede: a temperatura na junção, denotada por
, no regime estacionário.
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar.
- Em regime estacionário e com laterais isoladas, o transporte de calor é unidimensional em cada barra e a distribuição de temperatura é linear ao longo de cada barra.
- Lei da condução (forma útil para uma barra homogênea, seção
constante e queda linear de temperatura):
onde
é a potência térmica (cal/s) que atravessa a barra,
é a condutividade térmica,
é a área da seção transversal,
é a diferença de temperatura entre as extremidades e
é o comprimento da barra.
- Aqui as três barras têm a mesma
, portanto vai simplificar nas equações.
Passo 3
Expressar as taxas de calor em função de
.
- Calor vindo pelo cobre (do ponto a
para a junção a ):
- Calor que sai da junção pelo latão (da junção a
para o extremo a ):
- Calor que sai da junção pelo aço:
Passo 4
Balanço de energia na junção no regime estacionário.
- A energia que chega pela barra de cobre deve ser igual à soma das energias que saem pelas barras de latão e aço:
- Substituindo as expressões e simplificando
(cancela-se dos três termos):
Passo 5
Resolver a equação para
.
- Desenvolvendo:
- Agrupando os termos com
no lado direito:
- Logo:
- Substituindo os valores numéricos (unidades já compatíveis, comprimentos em cm):
Passo 6
Verificação rápida (checagem da conservação de energia por unidade de área).
- Taxas por unidade de área calculadas:
- Observa-se , logo a solução é consistente.