71 Três hastes cilíndricas A, B e C de comprimentos iguais e diâmetros iguais são unidas em série como mostrado na figura a seguir. Suas condutividades térmicas são 2 \mathrm{k}, \mathrm{k} e 0,5 \mathrm{k} respectivamente. No estado estacionário, as temperaturas das extremidades livres das hastes A e C são a 100^{\circ} \mathrm{C} e 0^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Desprezando a perda de calor das superfícies curvas das hastes.
a) Determine a temperatura da junção entre as hastes A e B .
b) Determine a temperatura da junção entre as hastes B e C.
c) Determine a condutibilidade térmica equivalente da combinação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (algumas eu peguei da imagem fornecida).
O enunciado pede:
  • (a) Determinar a temperatura da junção entre as hastes A e B.
  • (b) Determinar a temperatura da junção entre as hastes B e C.
  • (c) Determinar a condutibilidade térmica equivalente da combinação A–B–C.
Informações relevantes dadas (extraídas do enunciado e da imagem):
  • As três hastes A, B e C têm comprimentos iguais. Vou chamar o comprimento comum de L.
  • As três hastes têm diâmetros (e, portanto, área de secção transversal) iguais. Vou chamar a área comum de A.
  • As condutividades térmicas são:
    • haste A: 2k,
    • haste B: k,
    • haste C: 0{,}5k.
  • Temperaturas nas extremidades livres (peguei esses valores da imagem):
    • extremidade esquerda (início de A): 100^\circ\mathrm{C},
    • extremidade direita (final de C): 0^\circ\mathrm{C}.
  • Estado estacionário e desprezando perdas pelas superfícies curvas: isso implica condução 1D ao longo das hastes e mesma taxa de calor Q através de cada haste.

Passo 2

Modelo físico e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
Em regime estacionário e unidimensional, a taxa de calor constante Q que atravessa uma haste uniforme de comprimento L, área A e condutividade k_i entre duas faces com diferença de temperatura \Delta T é dada pela Lei de Fourier (na forma prática):
Q = \frac{k_i A}{L}\,\Delta T.
Aqui:
  • Q é a potência térmica (taxa de transferência de calor), positiva do lado quente para o frio;
  • k_i é a condutividade térmica da haste considerada;
  • A é a área da seção transversal;
  • L é o comprimento da haste;
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as duas extremidades da haste.
É útil definir a resistência térmica da haste como
R_i=\frac{L}{k_i A},
pois então a relação fica análoga a uma lei de Ohm térmica:
Q=\frac{\Delta T}{R_i}.
Para hastes em série (uma após a outra) as resistências térmicas somam:
R_{\text{total}}=R_A+R_B+R_C.
Além disso, por serem em série, a mesma Q atravessa cada haste. Sabendo Q e cada R_i podemos calcular as quedas de temperatura \Delta T_i=Q\,R_i e, assim, as temperaturas das junções.

Passo 3

Escrever as resistências das três hastes em função de L, A e k.
Para a haste A ( k_A=2k):
R_A=\frac{L}{k_A A}=\frac{L}{(2k)A}=\frac{L}{kA}\cdot\frac{1}{2}.
Para a haste B ( k_B=k):
R_B=\frac{L}{k_B A}=\frac{L}{kA}\cdot 1.
Para a haste C ( k_C=0{,}5k=\tfrac{1}{2}k):
R_C=\frac{L}{k_C A}=\frac{L}{(0{,}5k)A}=\frac{L}{kA}\cdot 2.
Para simplificar, defina a constante comum
r=\frac{L}{kA}.
Então
R_A=\frac{r}{2},\qquad R_B=r,\qquad R_C=2r.

Passo 4

Calcular a resistência térmica total e a taxa de calor Q.
Somando:
R_{\text{total}}=R_A+R_B+R_C=\frac{r}{2}+r+2r=r\left(\frac{1}{2}+1+2\right)=r\cdot\frac{7}{2}.
A diferença de temperatura entre as extremidades é 100^\circ\mathrm{C}-0^\circ\mathrm{C}=100^\circ\mathrm{C}. Assim
Q=\frac{\Delta T_{\text{total}}}{R_{\text{total}}}=\frac{100}{r\cdot\frac{7}{2}}=100\cdot\frac{2}{7r}=\frac{200}{7r}.

Passo 5

Calcular as quedas de temperatura em cada haste e as temperaturas das junções.
Queda de temperatura na haste A:
\Delta T_A = Q R_A = \frac{200}{7r}\cdot\frac{r}{2}=\frac{200}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{100}{7}\,^\circ\mathrm{C}.
Portanto a temperatura na junção entre A e B (chamei de T_{A-B}) é
T_{A-B}=100^\circ\mathrm{C}-\Delta T_A=100-\frac{100}{7}=\frac{700-100}{7}=\frac{600}{7}\,^\circ\mathrm{C}.
Como aproximação decimal,
T_{A-B}\approx85,714^\circ\mathrm{C}.
Queda de temperatura na haste B:
\Delta T_B = Q R_B = \frac{200}{7r}\cdot r=\frac{200}{7}\,^\circ\mathrm{C}.
Logo a temperatura na junção entre B e C (chamei de T_{B-C}) é
T_{B-C}=T_{A-B}-\Delta T_B=\frac{600}{7}-\frac{200}{7}=\frac{400}{7}\,^\circ\mathrm{C}.
Em decimal,
T_{B-C}\approx57,143^\circ\mathrm{C}.
Queda de temperatura na haste C (verificação):
\Delta T_C = Q R_C = \frac{200}{7r}\cdot 2r=\frac{400}{7}\,^\circ\mathrm{C}.
Note que \Delta T_A+\Delta T_B+\Delta T_C=\frac{100}{7}+\frac{200}{7}+\frac{400}{7}=\frac{700}{7}=100^\circ\mathrm{C}, coerente.

Passo 6

Determinar a condutibilidade térmica equivalente k_{\text{eq}} da combinação (uma única haste de comprimento 3L ou, se preferir, achar o k_{\text{eq}} que satisfaça R_{\text{total}}=\dfrac{3L}{k_{\text{eq}} A} — aqui uso a alternativa de igual comprimento total; mais simples é usar a relação direta entre resistências).
Como R_{\text{total}}=\dfrac{L}{kA}\cdot\frac{7}{2} e queremos uma condutividade equivalente para a haste de comprimento total 3L com mesma área A, escrevemos
R_{\text{total}}=\frac{3L}{k_{\text{eq}}A}.
Igualando:
\frac{3L}{k_{\text{eq}}A}=\frac{L}{kA}\cdot\frac{7}{2}\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{k_{\text{eq}}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{k}=\frac{7}{6}\cdot\frac{1}{k}.
Portanto
k_{\text{eq}}=\frac{6}{7}\,k.
Observação: se preferirmos definir a haste equivalente como ter comprimento igual ao de uma haste individual L e representar a combinação por uma condutividade equivalente por comprimento L, havia outra convenção; a definição habitual para “condutibilidade térmica equivalente da combinação” nesse contexto é achar k_{\text{eq}} tal que uma única haste de comprimento total 3L e área A tenha a mesma resistência total. Seguindo essa convenção o resultado é k_{\text{eq}}=\dfrac{6}{7}k.
Uma outra forma muito usada é comparar resistências por unidade de comprimento total: se alguém define k_{\text{eq}} para uma haste de comprimento total 3L, chegamos ao k_{\text{eq}} acima. Se preferir expressar por unidade de comprimento proporcional (por exemplo, para comparar com cada haste de comprimento L), é importante deixar claro a convenção; aqui usei a convenção de comprimento total 3L.

Resposta

T_{\text{junção A–B}}=\dfrac{600}{7}\,^\circ\mathrm{C}\approx85,714^\circ\mathrm{C}çã
T_{\text{junção B–C}}=\dfrac{400}{7}\,^\circ\mathrm{C}\approx57,143^\circ\mathrm{C}çã
k_{\text{eq}}=\dfrac{6}{7}\,k

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