71 Três hastes cilíndricas
e
de comprimentos iguais e diâmetros iguais são unidas em série como mostrado na figura a seguir. Suas condutividades térmicas são
e
respectivamente. No estado estacionário, as temperaturas das extremidades livres das hastes A e C são a
e
, respectivamente. Desprezando a perda de calor das superfícies curvas das hastes.
a) Determine a temperatura da junção entre as hastes A e B .
b) Determine a temperatura da junção entre as hastes B e C.
c) Determine a condutibilidade térmica equivalente da combinação.
a) Determine a temperatura da junção entre as hastes A e B .
b) Determine a temperatura da junção entre as hastes B e C.
c) Determine a condutibilidade térmica equivalente da combinação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (algumas eu peguei da imagem fornecida).
O enunciado pede:
- (a) Determinar a temperatura da junção entre as hastes A e B.
- (b) Determinar a temperatura da junção entre as hastes B e C.
- (c) Determinar a condutibilidade térmica equivalente da combinação A–B–C.
Informações relevantes dadas (extraídas do enunciado e da imagem):
- As três hastes A, B e C têm comprimentos iguais. Vou chamar o comprimento comum de
. - As três hastes têm diâmetros (e, portanto, área de secção transversal) iguais. Vou chamar a área comum de
. - As condutividades térmicas são:
- haste A:
, - haste B:
, - haste C:
.
- haste A:
- Temperaturas nas extremidades livres (peguei esses valores da imagem):
- extremidade esquerda (início de A):
, - extremidade direita (final de C):
.
- extremidade esquerda (início de A):
- Estado estacionário e desprezando perdas pelas superfícies curvas: isso implica condução 1D ao longo das hastes e mesma taxa de calor
através de cada haste.
Passo 2
Modelo físico e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
Em regime estacionário e unidimensional, a taxa de calor constante
que atravessa uma haste uniforme de comprimento
, área
e condutividade
entre duas faces com diferença de temperatura
é dada pela Lei de Fourier (na forma prática):
Aqui:
-
é a potência térmica (taxa de transferência de calor), positiva do lado quente para o frio; -
é a condutividade térmica da haste considerada; -
é a área da seção transversal; -
é o comprimento da haste; -
é a diferença de temperatura entre as duas extremidades da haste.
É útil definir a resistência térmica da haste como
pois então a relação fica análoga a uma lei de Ohm térmica:
Para hastes em série (uma após a outra) as resistências térmicas somam:
Além disso, por serem em série, a mesma
atravessa cada haste. Sabendo
e cada
podemos calcular as quedas de temperatura
e, assim, as temperaturas das junções.
Passo 3
Escrever as resistências das três hastes em função de
e
.
Para a haste A (
):
Para a haste B (
):
Para a haste C (
):
Para simplificar, defina a constante comum
Então
Passo 4
Calcular a resistência térmica total e a taxa de calor
.
Somando:
A diferença de temperatura entre as extremidades é
. Assim
Passo 5
Calcular as quedas de temperatura em cada haste e as temperaturas das junções.
Queda de temperatura na haste A:
Portanto a temperatura na junção entre A e B (chamei de
) é
Como aproximação decimal,
Queda de temperatura na haste B:
Logo a temperatura na junção entre B e C (chamei de
) é
Em decimal,
Queda de temperatura na haste C (verificação):
Note que
, coerente.
Passo 6
Determinar a condutibilidade térmica equivalente
da combinação (uma única haste de comprimento
ou, se preferir, achar o
que satisfaça
— aqui uso a alternativa de igual comprimento total; mais simples é usar a relação direta entre resistências).
Como
e queremos uma condutividade equivalente para a haste de comprimento total
com mesma área
, escrevemos
Igualando:
Portanto
Observação: se preferirmos definir a haste equivalente como ter comprimento igual ao de uma haste individual
e representar a combinação por uma condutividade equivalente por comprimento
, havia outra convenção; a definição habitual para “condutibilidade térmica equivalente da combinação” nesse contexto é achar
tal que uma única haste de comprimento total
e área
tenha a mesma resistência total. Seguindo essa convenção o resultado é
.
Uma outra forma muito usada é comparar resistências por unidade de comprimento total: se alguém define
para uma haste de comprimento total
, chegamos ao
acima. Se preferir expressar por unidade de comprimento proporcional (por exemplo, para comparar com cada haste de comprimento
), é importante deixar claro a convenção; aqui usei a convenção de comprimento total
.