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Sobre a função f: \mathbb{R}-\{5\} \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x)=\frac{|(x-3)(5-x)|}{x-5}, podese afirmar que
(A) f(x)=3-x, se x<0.
(B) f(x)=3-x, se 0<x<3.
(C) f(x)=3-x, se 3 \leq x<4.
(D) f(x)=x-3, se 5 \leq x<6.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f:\mathbb{R}-\{5\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{|(x-3)(5-x)|}{x-5},
e pede que avaliemos as afirmações (A), (B), (C) e (D), cada uma do tipo “f(x)= expressão, para certo intervalo de x”. Informações relevantes que temos:
O domínio é \mathbb{R}\setminus\{5\} (ou seja, x=5 não está permitido).
A expressão envolve valor absoluto de um produto, e um denominador x-5 que muda de sinal em x=5.
O que se pede implicitamente: determinar a forma simplificada de f(x) em diferentes intervalos de x e verificar quais opções coincidem com essa forma.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a parte com valor absoluto. Duas propriedades úteis e fáceis:
Para números A\) e \(B\) vale \(|AB|=|A|\cdot|B|\).
- Para qualquer número real \(y\) com \(y\neq0\) tem-se \(\dfrac{|y|}{y}=\begin{cases}1,&y>0,\\\ -1,&y<0,\end{cases} que é exatamente a função sinal \operatorname{sgn}(y).
Aplicando isso ao numerador:
|(x-3)(5-x)| = |x-3|\cdot|5-x|.
Observação: |5-x|=|x-5|. Então podemos escrever
f(x)=\frac{|x-3|\cdot|x-5|}{x-5}.
Passo 3
Agora simplificamos usando \dfrac{|x-5|}{x-5}=\operatorname{sgn}(x-5)\) (válido para \(x\neq5\), que é o nosso domínio). Assim:
\[f(x)=|x-3|\cdot\frac{|x-5|}{x-5}=|x-3|\cdot\operatorname{sgn}(x-5).
(Notas amigáveis: em x=3\] a fórmula dá \(f(3)=0; em x ligeiramente menor que 3 a expressão também é x-3.)]
Passo 5
Agora verificamos cada alternativa usando o resumo acima:
(A) Diz: “f(x)=3-x, se x<0.”
Para x<0 temos x<3, e no nosso resumo f(x)=x-3 quando x<3. Portanto a alternativa (A) está incorreta.
(B) Diz: “f(x)=3-x, se 0<x<3.”
Para 0<x<3 ainda temos x<3, logo f(x)=x-3, não 3-x. Logo (B) está incorreta.
(C) Diz: “f(x)=3-x, se 3 \leq x<4.”
O intervalo 3\le x<4 está contido em 3\le x<5, região onde f(x)=3-x. Então (C) é correta.
(D) Diz: “f(x)=x-3, se 5 \leq x<6.”
Para 5<x<6 (ou seja, excluindo 5) realmente temos f(x)=x-3. Porém a alternativa escreveu 5\le x<6, o que inclui x=5; mas x=5 não pertence ao domínio de f. Como a afirmação é formulada com “\le” incluindo 5, ela está incorreta (não se pode afirmar algo para um ponto fora do domínio). Portanto (D) não é correta conforme escrita.
Concluímos que somente a alternativa (C) é verdadeira como está formulada.