1.68 Se a e b são vetores não nulos e ortogonais, determine o valor de x de modo que os vetores a+x b e a-b sejam ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores não nulos a e b que são ortogonais, ou seja,
acdotb=0
Pede-se o valor de x tal que os vetores a+xb e a-b também sejam ortogonais. Para isso, vamos usar a propriedade bilinear do produto escalar.

Passo 2

A condição de ortogonalidade é
(a+xb)cdot(a-b) = 0
Usamos agora a distributividade do produto escalar:
(a+xb)cdot(a-b) = acdota ;-;acdotb ;+;x,bcdota;-;x,bcdotb

Passo 3

Como acdotb=0 e bcdota=0, os termos mistos desaparecem, sobrando
acdota ;-; x,bcdotb = 0
Reescrevendo acdota=|a|^2 e bcdotb=|b|^2, temos
|a|^2 - x,|b|^2 = 0

Passo 4

Isolando x, obtemos
x = |a|^2|b|^2

Resposta

x = |a|^2|b|^2

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